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The cross product of two vectors is denoted with an $\times$ . The cross product of vector $\vec{\mathbf{a}}$ and vector $\vec{\mathbf{b}}$ results in a new vector

\vec{\mathbf{c}} = \vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}}

that is perpendicular to the surface spanned by vectors $\vec{\mathbf{a}}$ and $\vec{\mathbf{b}}$ (see figure). Furthermore the three vectors $\vec{\mathbf{a}}$ , $\vec{\mathbf{b}}$ and $\vec{\mathbf{c}}$ build a rectangular coordinate system based on the right-hand rule. The magnitude of vector $\vec{\mathbf{c}}$ equals the area of the parallelogram spanned by $\vec{\mathbf{a}}$ and $\vec{\mathbf{b}}$ and is calculated as follows:

|\vec{\mathbf{c}}| = a b \sin(\alpha)\ \quad\text{if}\ \vec{\mathbf{c}} = \vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}}

In this equation $\alpha$ denotes the angle between the two vectors which ranges from $0$ to $\pi$ (see figure above). Furthermore it should be noted that the cross product is exclusively defined for the three-dimensional euclidian vector space. Therefore the following computational relationship holds:

\begin{align} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y\\ a_z b_x - a_x b_z\\ a_x b_y - a_y b_x\end{bmatrix} \end{align}

Based on the described relationships it can be seen, that the commutative law does not hold for the cross product. Instead, the following holds:

\vec{\mathbf{b}} \times \vec{\mathbf{a}} = -(\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}})

Furthermore there are some special cases that lead to simplifications in technical context:

\begin{align} \vec{\textbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} &= 0 &\text{if}&\ \vec{\textbf{a}} \upuparrows \vec{\textbf{b}}\ \text{and}\ \vec{\textbf{a}} \downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}\ (\text{because} \sin(0) = \sin(\pi) = 0)\\ \vec{\textbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} &= a b \vec{\textbf{e}}_c &\text{if}&\ \vec{\textbf{a}} \perp \vec{\textbf{b}} \end{align}

Multimedial educational material

http://demonstrations.wolfram.com/CrossProductOfVectorsInTheYZPlane/ Applet: Cross product of two vectors in the yz-plane

Literature

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Edition (Pearson Studium, 2011)
Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Edition (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Edition (Pearson Studium, 2007)

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Navigation|before=[[Dot product]]|overview=[[Vector algebra]]|next=[[Matrices]]}}
-[[File:vectoralgebra_crossproduct.jpg|right|150px]]
+<table style="width:100%"><td style="width:50%">{{Exercise|Selftest: Cross product}}</td><td style="width:50%">{{Matlab|MATLAB: Cross product}}</td></table>
-[[File:vectoralgebra_sarrus|150px|right]]
-Bei der Multiplikation zweier Vektoren handelt es sich entweder um das [[Vektorprodukt]] (auch Kreuzprodukt genannt) oder aber um das [[Skalarprodukt]]. Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis ein Skalar, das Vektorprodukt hingegen liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Betrachtet man zwei Vektoren <math>\vec{\textbf{a}}</math> und <math>\vec{\textbf{b}}</math>, so erhält man als Ergebnis des Vektorprodukts einen Vektor <math>\vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}</math>, der senkrecht auf der von <math>\vec{\textbf{a}}</math> und <math>\vec{\textbf{b}}</math> aufgespannten Fläche steht (siehe Abbildung). Weiterhin bilden die drei Vektoren <math>\vec{\textbf{a}}</math>, <math>\vec{\textbf{b}}</math> und <math>\vec{\textbf{c}}</math> ein Rechtssystem, das heißt sie sind gemäß der [[Rechte-Hand-Regel|Rechten-Hand-Regel II]] miteinander verknüpft. Der Betrag des Vektors <math>\vec{\textbf{c}}</math> lässt sich als Flächeninhalt des von <math>\vec{\textbf{a}}</math> und <math>\vec{\textbf{b}}</math> aufgespannten Parallelogramms interpretieren und wird wie folgt bestimmt:
+[[File:vectoralgebra_crossproduct.jpg|right|350px]]
+The cross product of two vectors is denoted with an <math>\times</math>. The cross product of vector <math>\vec{\mathbf{a}}</math> and vector <math>\vec{\mathbf{b}}</math> results in a new vector
+:<math>\vec{\mathbf{c}} = \vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}}</math>
+that is perpendicular to the surface spanned by vectors <math>\vec{\mathbf{a}}</math> and <math>\vec{\mathbf{b}}</math> (see figure). Furthermore the three vectors <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> and <math>\vec{\mathbf{c}}</math> build a rectangular coordinate system based on the right-hand rule. The magnitude of vector <math>\vec{\mathbf{c}}</math> equals the area of the parallelogram spanned by <math>\vec{\mathbf{a}}</math> and <math>\vec{\mathbf{b}}</math> and is calculated as follows:
 :<math>
-|\vec{\textbf{c}}| = a b \sin(\alpha)\ \text{wenn}\ \vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}
+|\vec{\mathbf{c}}| = a b \sin(\alpha)\ \quad\text{if}\ \vec{\mathbf{c}} = \vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}}
 </math>
-Dabei bezeichnet <math>\alpha</math> den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen <math>0</math> und <math>\pi</math> annehmen kann (siehe Abbildung). Weiterhin gilt es zu beachten, dass das Vektorprodukt ausschließlich für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum definiert ist. Rechnerisch gilt der folgende Zusammenhang:
+In this equation <math>\alpha</math> denotes the angle between the two vectors which ranges from <math>0</math> to <math>\pi</math> (see figure above). Furthermore it should be noted that the cross product is exclusively defined for the three-dimensional euclidian vector space. Therefore the following computational relationship holds:
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 14: / Line 19: @@
 \end{align}
 </math>
-Als Merkhilfe für diesen Zusammenhang eignet sich die [[Regel von Sarrus]]: Entsprechend der Abbildung werden dabei die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems in eine erste Spalte und die anderen beiden Vektoren in eine zweite und dritte Spalte geschrieben. Auf diese Weise erhält man eine [[Matrix]], deren ersten beiden Spalten nun erneut rechts neben diese Matrix geschrieben werden. Nun führt man die Multiplikationen und Additionen wie in der Abbildung gezeigt aus und erhält:
+Based on the described relationships it can be seen, that the commutative law does not hold for the cross product. Instead, the following holds:
 :<math>
-\begin{align}
+\vec{\mathbf{b}} \times \vec{\mathbf{a}} = -(\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}})
-\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}
-&= \vec{\textbf{e}}_x a_y b_z + a_x b_y \vec{\textbf{e}}_z + b_x \vec{\textbf{e}}_y a_z\\
-&  -\vec{\textbf{e}}_z a_y b_x - a_z b_y \vec{\textbf{e}}_x - b_z \vec{\textbf{e}}_y a_x\\
-&= (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\textbf{e}}_x + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\textbf{e}}_y + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\textbf{e}}_z
-\end{align}
-</math>
-Aus mathematischer Sicht bestimmt man auf diese Weise die [[Determinante]] der genannten Matrix. Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt '''nicht''' dem Kommutativgesetz genügt. Stattdessen gilt:
-:<math>
-\vec{\textbf{b}} \times \vec{\textbf{a}} = -(\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}})
 </math>
-Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:
+Furthermore there are some special cases that lead to simplifications in technical context:
 :<math>
 \begin{align}
-\vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} &= 0 &\text{wenn}&\ \vec{\textbf{a}} \upuparrows \vec{\textbf{b}}\ \text{und}\ \vec{\textbf{a}} \downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}\ (\text{da} \sin(0) = \sin(\pi) = 0)\\
+\vec{\textbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} &= 0 &\text{if}&\ \vec{\textbf{a}} \upuparrows \vec{\textbf{b}}\ \text{and}\ \vec{\textbf{a}} \downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}\ (\text{because} \sin(0) = \sin(\pi) = 0)\\
-\vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} &= a b \vec{\textbf{e}}_c &\text{wenn}&\ \vec{\textbf{a}} \perp \vec{\textbf{b}}
+\vec{\textbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} &= a b \vec{\textbf{e}}_c &\text{if}&\ \vec{\textbf{a}} \perp \vec{\textbf{b}}
 \end{align}
-</math><br/<<br/>
+</math><br/><br/>
 {{Multimedia|Links=
-http://www.surendranath.org/Applets/Math/VectorProduct/VP.html '''Applet''': Cross product of two vectors in cartesian and polar coordinates
 http://demonstrations.wolfram.com/CrossProductOfVectorsInTheYZPlane/ '''Applet''': Cross product of two vectors in the yz-plane
 }}
-<noinclude>==Literatur==
+<noinclude>==Literature==
 * Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Edition (Pearson Studium, 2011)
 * Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Edition (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
@@ Line 48: / Line 43: @@
 [[Category:Article]]
+[[Category:Vectors]]

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