Komponentendarstellung von Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | \vec{\textbf{e}}_x b_x + | ||
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| + | a_y b_y + | ||
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Version vom 6. Februar 2012, 11:36 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Komponentenzerlegung eines Vektors
Betrachtet man beispielsweise einen Vektor 
im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen Einheitsvektoren, die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben:
Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren 
und 
, so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor . Führt man nun wie dargestellt einen Winkel 
ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke 
mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt:
Mit Hilfe des Skalarprodukts (geometrisch interpretiert auch weil sich die Strecke bei der Projektion des Vektors auf die parallel zum Einheitsvektor 
verlaufende Linie ergibt) lässt sich dieser Zusammenhang dann wie folgt ausdrücken:
Folglich können die Komponenten eines Vektors einfach dadurch bestimmt werden, dass man das Skalarprodukt aus diesem Vektor und den jeweils zugehörigen Einheitsvektoren bildet:
Komponentendarstellung von Vektorbeziehungen
Betrachtet man nun noch mal die verschiedenen Vektorbeziehungen, so lassen sich diese in Komponentendarstellung wie folgt angeben:
