Das Volumenintegral

To-do:

Ausführung von Mehrfachintegralen (Integrationsreihenfolge usw.) ausführlicher beschreiben, ggf. eigenen Abschnitt einfügen
"Vor das Integral schreiben" statt ziehen
Einleitung plausibler!!!
Grafik im Beispiel: Masse eines Zylinders: ??? Guck doch mal das phi an!! Außerdem einfärben.
Formulierungen wie "gegeben sei" durch "gegeben ist" ersetzen

Möchte man die Masse m eines Körpers bestimmen, dessen Dichte $\rho$ ortsabhängig ist, verwendet man das Volumenenintegral, um die Masse zu berechnen (Nur dann, oder was?). Analog zur Berechnung der Masse kann man sich auch eine Raumladung vorstellen (unpräsize!). Mit Hilfe des Volumenintegrals lässt sich dann sehr einfach die gesamte (worin?) enthaltene Ladung bestimmen. Da die Dichte nichts anderes ist als die Masse pro Volumen und die Raumladung ausgedrückt werden kann als Ladung pro Volumen (falsch, das gilt nur die Dichte), entsprechen sich beide Berechnungen (Formulierung).

Zur Herleitung muss der Körper zunächst in i würfelförmige Teilstücke $K_i$ mit i=1,...n zerlegt werden, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge $\delta$ aufweist. Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke $V=\delta^3$ mit der spezifischen Dichte $\rho_i$ und summiert alle Produkte über das Volumen auf. So erhält man:

m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

Bildet man nun den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge $\delta$ der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen $\infty$ geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals (Reihenfolge unplausibel, Schreibweise falsch):

m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V=\lim{\Delta V_i \to 0}\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V

Beispiel: Masse eines Zylinders

Gegeben ist die homogene Dichte $\rho=\frac{m}{V}$ eines Zylinders mit der Höhe l und dem Radius r. Gesucht wird seine Gesamtmasse.

Da die Dichte nichts weiter ist als die Masse pro Volumen, lässt sich die Masse durch die Integration der Dichte über das Volumen des Zylinders berechnen:

m=\int_V\rho\mathrm{d}V

Dafür benötigt man zunächst das Volumenelement eines Zylinders:

\mathrm{d}V=\tilde r\cdot\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da hier die Integrationsvariable und die Variable in der Funktion gleich sind, setzt man eine Tilde ( $\tilde r$ ) über das r, um zu zeigen, dass es sich nicht um dasselbe r handelt. Nun setzt man dieses Volumenelement und die Grenzen des Zylinders in die obige Gleichung ein:

m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho\cdot \tilde r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da $\rho$ unabhängig von den Integrationsgrenzen ist, kann es vor das Integral gezogen werden. Löst man nun das Integral, ergibt sich:

m=\rho\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.z\right|_0^l=\rho\cdot\pi r^2\cdot l

Da $\pi r^2\cdot l=V$ auch das Volumen des Zylinders ist, lässt sich hier auch die einfache Form ohne Integral zur Lösung nutzen:

m=\rho\cdot V=\rho\cdot \pi r^2\cdot l

Nicht mehr ganz so einfach wird die Rechnung jedoch, wenn $\rho$ abhängig vom Volumen ist: Beispielsweise sei $\rho(V)$ gegeben durch:

\rho(V)=z\cdot\rho_0

Führt man nun die selbe Rechnung durch, ergibt sich:

m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho_0\cdot \tilde z\tilde r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Die Konstante $\rho_0$ lässt sich wieder vorziehen und das Integral ergibt:

m=\rho_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l=\rho_0\cdot \pi r^2 \cdot \frac{l^2}{2}

Beispiel: Raumladung einer Kugel

Gegeben sei eine homogene Raumladung $\rho$ in einer Kugel mit dem Radius R. Gesucht ist die eingeschlossene Ladung Q der gesamten Kugel:

Q=\int_V\rho\mathrm{d}V

Raumladung einer Kugel

Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten, insbesondere für die Winkel $\theta$ und $\varphi$ :

0\leq\varphi\leq 2\pi

0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie zu: $\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r$

Hier wird eine Tilde über dem r verwendet um anzudeuten, dass es sich nicht um das selbe r handelt, da es einmal in den Grenzen existiert und als Variable in der Funktion vorkommt. Eingesetzt folgt daraus:

Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da $\rho$ homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:

Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes

http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links