Kartesische Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Möchte man das elektrische Feld zwischen zwei Platten eines Plattenkondensators '''darstellen''', verwendet man, wie bei anderen geradlinigen Anordnungen, die kartesischen Koordinaten. Sie werden nicht nur bei räumlichen Darstellung von Problemen genutzt, sondern auch bei abstrakten Größen. So kann der zeitliche Verlauf einer Spannung im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dabei ist die Spannung als zeitveränderliche Größe auf der Ordinate (y-Achse) und die Zeit auf der Abszisse (x-Achse) dargestellt. 
 
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Eine der wichtigsten Eigenschaften des kartesischen Koordinatensystems ist, dass die Koordinatenachsen, die häufig auch als x-, y-, und z-Achse beschrieben werden, orthogonal zueinander stehen. Im Vergleich zu anderen Koordinatensystemen zeigen hier die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}</math> immer in die selbe Richtung und sind parallel zu den Achsen. Außerdem bilden die Achsen zueinander ein ''Rechtssystem''.  
 
Eine der wichtigsten Eigenschaften des kartesischen Koordinatensystems ist, dass die Koordinatenachsen, die häufig auch als x-, y-, und z-Achse beschrieben werden, orthogonal zueinander stehen. Im Vergleich zu anderen Koordinatensystemen zeigen hier die [[Einheitsvektoren]] <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\mathrm{z}</math> immer in die selbe Richtung und sind parallel zu den Achsen. Außerdem bilden die Achsen zueinander ein ''Rechtssystem''.  
  
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Als Koordinatenflächen erhält man die drei orthogonal zueinander angeordneten Ebenen x = const. (entspricht der y-z-Ebene), y = const. (entspricht der x-z-Ebene) und z = const. (entspricht der x-y-Ebene).
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Der [[Ortsvektor]] <math>\vec{\textbf{r}}</math> des Raumpunkts ''P'' wird, bezogen auf den Koordinatenursprung 0, mit Hilfe der [[Einführung in die Vektorrechnung|Länge]] <math>r = \left| \vec{\textbf{r}} \right|</math> beschrieben:
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Version vom 28. August 2012, 19:22 Uhr

To-do:

  • Formulierungen überarbeiten
Vektorielles Wegelement
Das Kartesische Koordinatensystem

Möchte man das elektrische Feld zwischen zwei Platten eines Plattenkondensators darstellen, verwendet man, wie bei anderen geradlinigen Anordnungen, die kartesischen Koordinaten. Sie werden nicht nur bei räumlichen Darstellung von Problemen genutzt, sondern auch bei abstrakten Größen. So kann der zeitliche Verlauf einer Spannung im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dabei ist die Spannung als zeitveränderliche Größe auf der Ordinate (y-Achse) und die Zeit auf der Abszisse (x-Achse) dargestellt.

Eine der wichtigsten Eigenschaften des kartesischen Koordinatensystems ist, dass die Koordinatenachsen, die häufig auch als x-, y-, und z-Achse beschrieben werden, orthogonal zueinander stehen. Im Vergleich zu anderen Koordinatensystemen zeigen hier die Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x}, \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y}, \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} immer in die selbe Richtung und sind parallel zu den Achsen. Außerdem bilden die Achsen zueinander ein Rechtssystem.

Zur Beschreibung eines Rechtssystems gibt es verschiedene Merkregeln, zum Beispiel: Hält man die Hand in den Koordinatenursprung (dort, wo sich die Koordinatenachsen schneiden), kann man mit Hilfe der Rechten Handregel1 die Richtungen der Einheitsvektoren bestimmen. Oder man nutzt die Rechtsschraubenregel, um die Position der Einheitsvektoren zu veranschaulichen, indem man die positive x-Achse auf dem kürzesten Weg in Richtung der positiven y-Achse dreht (d. h. gegen den Uhrzeigersinn). Verschiebt man gleichzeitig die Richtung in die positive z-Achse, erhält man eine Rechtsschraube.

Als Koordinatenflächen erhält man die drei orthogonal zueinander angeordneten Ebenen x = const. (entspricht der y-z-Ebene), y = const. (entspricht der x-z-Ebene) und z = const. (entspricht der x-y-Ebene).

Der Ortsvektor \vec{\textbf{r}} des Raumpunkts P wird, bezogen auf den Koordinatenursprung 0, mit Hilfe der Länge r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| beschrieben:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{x} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{y} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z} && \text{mit} & r = \left| \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2} \end{align}

Für die meisten Kurvenintegrale wird das differentielle Wegelement \mathrm{d}\vec{\textbf{r}} benötigt. Dabei ist das differentielle Wegelement, die differentielle Änderung des Ortsvektors beim Fortschreiten vom Punkt P(x,y,z) um die elementaren Strecken dx, dy, dz. Dadurch wird die Richtung der Kurve in einem bestimmten Punkt angegeben.

\mathrm{d} \vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \mathrm{dx} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \mathrm{dy} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{dz}

Die Länge des Wegelements ergibt sich durch die Berechnung des Betrags des differentiellen Wegelements:

\left| \mathrm{d} \vec{\textbf{r}} \right| = \sqrt{(\mathrm{dx})^2 + (\mathrm{dy})^2 + (\mathrm{dz})^2}

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_kartes.html Applet: Kartesische Koordinaten im zweidimensionalem Raum

http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/applet_b_schief.html Applet: Schiefwinkliges Koordinatensystem im zweidimensionalem Raum

http://www.kleemannschule.de/de/unterricht/mathematik/punkt3D.html Applet: Ein Punkt im dreidimensionalem Raum mit seinen Ortsvektoren

Hilfreiche Links

Link.png

http://cnx.org/content/m13600/latest/ Übersicht zu verschiedenen Koordinatensystemen


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