Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen
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\vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta) | \vec{\textbf{E}} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)}\, (\vec{\textbf{e}}_x \sin\vartheta\cos\varphi +\vec{\textbf{e}}_y \sin\vartheta\sin\varphi +\vec{\textbf{e}}_z\cos\vartheta) | ||
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Mit Hilfe von [[trigonometrische Funktionen|trigonometrischen Funktionen]] können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|Mehrfachintegralen]]. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird. | Mit Hilfe von [[trigonometrische Funktionen|trigonometrischen Funktionen]] können auch die aus dem Kugelkoordinatensystem stammenden Winkel <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> ersetzt werden, so dass die Gleichung nur noch von <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> abhängt. Dadurch wird der Ausdruck noch umfangreicher. Eine „geschickte“ Wahl des Koordinatensystems kann außerdem zu erheblichen Vereinfachungen führen, beispielsweise bei der Bestimmung von Feldgrößen auf Basis von [[Erweiterung der Integralrechnung:Übersicht|Mehrfachintegralen]]. Diesbezüglich ist es oft vorteilhaft, wenn der Koordinatenursprung – sofern frei wählbar – passend zu den Symmetrieeigenschaften einer Anordnung positioniert wird. | ||
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Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme. | Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Übersicht der verschiedenen Koordinatensysteme. | ||
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Version vom 24. Mai 2013, 11:35 Uhr
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Einführung
Koordinatensysteme werden zur eindeutigen Positionsbeschreibung von Punkten und Anordnungen (z. B. Ladungen oder stromführende Leiter) im Raum verwendet und ermöglichen erst die eindeutige Formulierung von Vektoren. Weiterhin lassen sich ortsabhängige Größen wie beispielsweise elektrische und magnetische Felder beschreiben. In der Lehrverstaltung sind neben den bekannten kartesischen Koordinaten besonders Zylinder- und Kugelkoordinaten von Bedeutung. Auch bei diesen beiden Koordinatensystemen dient das kartesische Koordinatensystem jedoch immer als Referenz. In der Regel ist es vorteilhaft, ein auf die jeweilige Problemstellung „zugeschnittenes“ Koordinatensystem zu verwenden. Das elektrische Feld einer Punktladung ist beispielsweise radialsymmetrisch und der Betrag hängt ausschließlich vom Abstand
zur Punktladung ab, so dass sich die Verwendung von Kugelkoordinaten anbietet. Mit Hilfe eines entsprechenden Einheitsvektors lässt sich die elektrische Feldstärke wie folgt angeben:
Die äquivalente Beschreibung in kartesischen Koordinaten ist weniger kompakt und lautet wie folgt (vgl. Formelsammlung Koordinatensysteme):
Übersicht
Kartesische Koordinaten
Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt |
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Zylinderkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt |
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Kugelkoordinaten
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt |
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