Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | ==Literatur== | ||
+ | * Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011) | ||
+ | * Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001) | ||
+ | * Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005) | ||
+ | * Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007) | ||
+ | * Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg | ||
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Version vom 24. August 2012, 12:20 Uhr
Betrachtet man das Volumenelement in kartesischen Koordinaten ändert sich nicht viel im vergleich zu dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten (GEHT GAR NICHT!!!). Es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:
Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:
Das Flächenelement einer Kreisfläche wurde schon besprochen (Lieber im nachfolgenden Satz ausgehend vom Flächenelement auf den oberen Teil verweisen). Bei dem Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird zu diesem Flächenelement, wie in der Abbildung zu sehen, noch eine Höhenkomponente (Begriff fragwürdig) in z-Richtung (Was bedeutet in z-Richtung multiplizieren?) multipliziert. Daher lautet das Volumenelement:
Das Volumenelement (gibt es denn nur eins?) der (in!) Kugelkoordinaten ergibt sich aus der Symmetrie einer Kugel (hä?). Wie in der Abbildung zu sehen kann man die verschiedenen Kanten des Volumenelementes mit den Koordinatenabhängigkeiten beschreiben. So ergibt beisielsweise die Höhen Seite aus den Zusammenhängen, die schon bei den kreisförmigen Wegelementen beschreiben wurden. Multipliziert man alle Abhängigkeiten auf ergibt sich das Volumenelement zu (gibt es denn nur eins?):
![]() In diesem Beispiel ist eine homogene Raumladungsdichte Das Volumenelement der kartesischen Koordinaten lautet (besser: ein infinitessimal kleines VElement in kart. Koord. lässt sich wie folgt beschreiben -> siehe oben (Link)): Es kann direkt in die Gleichung eingesetzt und das Integral gelöst werden. Da die Raumladungsdichte |
![]() Im zweiten Beispiel wird eine eine kugelförmige, konstante Raumladungsdichte Um über die gesamte Kugel zu integrieren, muss man die Integrationsgrenzen korrekt wählen. Da die gesamte Kugel betrachtet wird, muss die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten für die Winkel Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
Da Dies enspricht abgesehen von der Konstante |
Multimediale Lehrmaterialien
http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.) |
Hilfreiche Links
http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.) |
Literatur
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
- Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
- Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
- Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg
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