Simple arithmetic operations
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Addition and subtraction of vectors
Vectors can be added graphically as well as computationally. Using the graphical method, one of the vectors is shifted such that its startpoint is positioned at the endpoint of the other vector. The resulting vector starts at the startpoint the one vector and ends at the endpoint of the shifted vector (see figure on the right). For the computational addition the single components are added
Sowohl anhand der grafischen Addition — es spielt offensichtlich keine Rolle welcher der beiden Vektoren an die Spitze des anderen verschoben wird — als auch anhand der rechnerischen Bestimmung des Summenvektors wird deutlich, dass die Vektoraddition dem Kommutativgesetz genügt. Folglich gilt:
Bei der Subtraktion zweier Vektoren wird der resultierende Vektor als Differenzvektor bezeichnet. Zur graphischen Bestimmung des Differenzvektors lässt sich ausnutzen, dass gilt. Dies bedeutet nämlich, dass die beiden Vektoren einfach addiert werden können, sofern man zuvor die Richtung des Vektors umkehrt. Zur mathematischen Bestimmung des Differenzvektors werden die einzelnen Komponenten subtrahiert:
Zur Addition und Subtraktion von mehr als zwei Vektoren gelten die beschriebenen Beziehungen in analoger Weise, bei der graphischen Addition werden also beispielsweise sämtliche Vektoren aneinandergereiht.
Multiplication of vectors with scalars
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem positiven reellen Skalar erhält man einen neuen Vektor, dessen Richtung mit derjenigen des ursprünglichen Vektors übereinstimmt. Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem negativen reellen Skalar erhält man einen Vektor mit entgegengesetzter Richtung. Die Länge des neuen Vektors ändert sich in beiden Fällen um den Faktor . Dies wird sofort anhand der mathematischen Bestimmung des neuen Vektors ersichtlich, bei der jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert wird:
Bei der Multiplikation mit einem Skalar erhält man als Sonderfall den Nullvektor mit dem Betrag und unbestimmter Richtung. Ein praktisches Beispiel für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar findet sich in der Einführung in die Vektorrechnung.
Multimedial educational material
http://mathcasts.org/gg/student/matrices/vectors_adding/index_s.html Applet: Vector addition in cartesian coordinates http://demonstrations.wolfram.com/VectorsIn3D/ Applet: Vector addition in three-dimensional space (free CDF-Player of Wolfram required) http://demonstrations.wolfram.com/3DVectorDecomposition/ Applet: Vector addition in in three-dimensional space with three vectors (free CDF-Player required) http://www.math.ethz.ch/~lemuren/public/visualization/analysis/RealComputation.html Applet: Vector addition in two-dimensional space http://demonstrations.wolfram.com/SumOfTwoVectors/ Applet: Vector addition in cartesian coordinates (free CDF-Player of Wolfram required) |
Helpful links
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html General introduction to vector operations |