Difference between revisions of "Simple arithmetic operations"

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http://mathcasts.org/gg/student/matrices/vectors_adding/index_s.html '''Applet''': Vektoraddition im kartesischen Koordinatensystem
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http://demonstrations.wolfram.com/SumOfTwoVectors/ '''Applet''': Vektoraddition in kartesischen Koordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)
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http://demonstrations.wolfram.com/SumOfTwoVectors/ '''Applet''': Vector addition in cartesian coordinates (free CDF-Player of Wolfram required)
 
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html Allgemeine Einführung in Vektoroperationen (engl.)
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html General introduction to vector operations
  
 
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Revision as of 16:26, 14 May 2014

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Addition and subtraction of vectors

Vectoralgebra addition substraction.png

Vektoren lassen sich sowohl graphisch als auch rechnerisch addieren. Bei der grafischen Addition wird einer der Vektoren parallel verschoben, so dass sein Anfang an der Spitze des zweiten Pfeils liegt (die Vektoren werden also sozusagen aneinandergereiht). Der resultierende Vektor wird als Summenvektor bezeichnet und zeigt vom Anfangspunkt des einen Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors (siehe Abbildung). Zur mathematischen Bestimmung des Summenvektors werden die einzelnen Komponenten addiert:

\vec{\textbf{a}} + \vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{bmatrix}

Sowohl anhand der grafischen Addition — es spielt offensichtlich keine Rolle welcher der beiden Vektoren an die Spitze des anderen verschoben wird — als auch anhand der rechnerischen Bestimmung des Summenvektors wird deutlich, dass die Vektoraddition dem Kommutativgesetz genügt. Folglich gilt:

\vec{\textbf{a}}+\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}}+\vec{\textbf{a}}

Bei der Subtraktion zweier Vektoren wird der resultierende Vektor als Differenzvektor bezeichnet. Zur graphischen Bestimmung des Differenzvektors \vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}} lässt sich ausnutzen, dass \vec{\textbf{a}}-\vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{a}}+(-\vec{\textbf{b}}) gilt. Dies bedeutet nämlich, dass die beiden Vektoren einfach addiert werden können, sofern man zuvor die Richtung des Vektors \vec{\textbf{b}} umkehrt. Zur mathematischen Bestimmung des Differenzvektors werden die einzelnen Komponenten subtrahiert:

\vec{\textbf{a}} - \vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z \end{bmatrix}

Zur Addition und Subtraktion von mehr als zwei Vektoren gelten die beschriebenen Beziehungen in analoger Weise, bei der graphischen Addition werden also beispielsweise sämtliche Vektoren aneinandergereiht.

Multiplication of vectors with scalars

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Bei der Multiplikation eines Vektors \vec{\textbf{a}} mit einem positiven reellen Skalar \lambda erhält man einen neuen Vektor, dessen Richtung mit derjenigen des ursprünglichen Vektors übereinstimmt. Bei der Multiplikation eines Vektors \vec{\textbf{a}} mit einem negativen reellen Skalar \lambda erhält man einen Vektor mit entgegengesetzter Richtung. Die Länge des neuen Vektors ändert sich in beiden Fällen um den Faktor |\lambda|. Dies wird sofort anhand der mathematischen Bestimmung des neuen Vektors ersichtlich, bei der jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert wird:

\lambda \begin{bmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda a_x\\ \lambda a_y\\ \lambda a_z \end{bmatrix} \Rightarrow |\lambda \vec{\textbf{a}}| = |\lambda| |\vec{\textbf{a}}|

Bei der Multiplikation mit einem Skalar \lambda = 0 erhält man als Sonderfall den Nullvektor \vec{\textbf{0}} mit dem Betrag 0 und unbestimmter Richtung. Ein praktisches Beispiel für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar findet sich in der Einführung in die Vektorrechnung.


Multimedial educational material

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http://mathcasts.org/gg/student/matrices/vectors_adding/index_s.html Applet: Vector addition in cartesian coordinates

http://demonstrations.wolfram.com/VectorsIn3D/ Applet: Vector addition in three-dimensional space (free CDF-Player of Wolfram required)

http://demonstrations.wolfram.com/3DVectorDecomposition/ Applet: Vector addition in in three-dimensional space with three vectors (free CDF-Player required)

http://www.math.ethz.ch/~lemuren/public/visualization/analysis/RealComputation.html Applet: Vector addition in two-dimensional space

http://demonstrations.wolfram.com/SumOfTwoVectors/ Applet: Vector addition in cartesian coordinates (free CDF-Player of Wolfram required)

Helpful links

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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html General introduction to vector operations

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