Dot product

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The dot product of two vectors results in a scalar value and is defined as

$\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot b\vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha$

where $\alpha$ describes the angle between the two vectors which ranges from $0$ to $\pi$ (see figure). The dot product is denoted with a simple point between the vectors or without any sign.
Regarding the right side of the above equation, the following correlation can be noted: If you project the vector $\vec{\mathbf{b}}$ on the vector $\vec{\mathbf{a}}$, you get the distance $b\cos\alpha$. As a consequence the result of the dot product can be seen as the acreage of a rectangle with the side legths $a$ and $b\cos\alpha$. The projection can also be done contrariwise (projection of vector $\vec{\mathbf{a}}$ on the direction of vector $\vec{\mathbf{b}}$). So that you get the distance $a\cos\alpha$. Die Multiplikation dieses Terms mit $b$ führt zu einem Rechteck mit identischem Flächeninhalt aber einem anderen Seitenverhältnis (siehe Abbildung).

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Skalarprodukts ist dadurch gegeben, dass man zunächst die korrespondierenden Komponenten multipliziert und anschließend aufsummiert:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = a b\cos\alpha = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = a b \cos\alpha = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt:

$\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} = \vec{\textbf{b}} \cdot \vec{\textbf{a}}$

Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:

$\begin{align} \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= ab& &\text{wenn}& \vec{\textbf{a}} & \upuparrows \vec{\textbf{b}}& &(\text{da} \cos(0) = 1)\\ \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= 0& &\text{wenn}& \vec{\textbf{a}} &\perp \vec{\textbf{b}}& &(\text{da} \cos(\frac{\pi}{2}) = 0)\\ \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{b}} &= -ab& &\text{wenn}& \vec{\textbf{a}} &\downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}& &(\text{da} \cos(\pi) = -1) \end{align}$

Example: Arbeit im elektrischen Feld Ein häufiger Anwendungsfall des Skalarprodukts ergibt sich bei dem Begriff der Arbeit. Bewegt man beispielsweise eine Punktladung $Q$ in einem homogenen elektrischen Feld $\vec{\textbf{E}}$ entlang einer geraden Strecke $\vec{\textbf{s}}$ von einem Punkt $A$ zu einem Punkt $B$, so lässt sich die dabei aufgewendete Arbeit mit Hilfe des Skalarprodukts wie folgt bestimmen: $W_{AB} = \vec{\textbf{F}} \cdot \vec{\textbf{s}}$ Bei der Verschiebung der Ladung muss die Coulomb-Kraft $\vec{\textbf{F}} = Q\vec{\textbf{E}}$ aufgebracht werden, das heißt in diesem Fall ergibt sich der folgende Zusammenhang: $W_{AB} = Q\vec{\textbf{E}} \cdot \vec{\textbf{s}} = Q E \cos{\alpha}$ Allgemein, also wenn die elektrische Feldstärke nicht homogen und der Weg der Verschiebung von $A$ nach $B$ keine gerade Strecke ist, gilt: $W_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{\textbf{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = Q \int_{A}^{B} \vec{\textbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$

Multimedial educational material

http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.1/index.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl.) http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu/brown/cs/exploratories/applets/dotProduct/dot_product_java_browser.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.2/index.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren mit der eingeschlossenen Fläche http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.math.ethz.ch/~lemuren/public/exercise/linalg/LinearCombinationInR2ETHZ.html Applet: Linearkombination im zweidimensionalem Raum

Literature

• Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Edition (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Edition (Pearson Studium, 2011)