Difference between revisions of "Dot product"
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Regarding the right side of the above equation, the following correlation can be noted: If you project the vector <math>\vec{\mathbf{b}}</math> on the vector <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, you get the distance <math>b\cos\alpha</math>. As a consequence the result of the dot product can be seen as the acreage of a rectangle with the side legths <math>a</math> and <math>b\cos\alpha</math>. The projection can also be done contrariwise (projection of vector <math>\vec{\mathbf{a}}</math> on the direction of vector <math>\vec{\mathbf{b}}</math>). So that you get the distance <math>a\cos\alpha</math>. The multiplication of this term with <math>b</math> leads to a rectangle with equivalent acreage but different aspect ratio (see figure). | Regarding the right side of the above equation, the following correlation can be noted: If you project the vector <math>\vec{\mathbf{b}}</math> on the vector <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, you get the distance <math>b\cos\alpha</math>. As a consequence the result of the dot product can be seen as the acreage of a rectangle with the side legths <math>a</math> and <math>b\cos\alpha</math>. The projection can also be done contrariwise (projection of vector <math>\vec{\mathbf{a}}</math> on the direction of vector <math>\vec{\mathbf{b}}</math>). So that you get the distance <math>a\cos\alpha</math>. The multiplication of this term with <math>b</math> leads to a rectangle with equivalent acreage but different aspect ratio (see figure). | ||
− | + | Another possibility to compute the dot product is to multiply the corresponding components and sum them up: | |
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− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b\cos\alpha = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z |
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Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen: | Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen: | ||
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− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos\alpha = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i |
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Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt: | Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt: | ||
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− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = \vec{\mathbf{b}} \cdot \vec{\mathbf{a}} |
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Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen: | Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen: | ||
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\begin{align} | \begin{align} | ||
− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} &= ab& |
&\text{wenn}& | &\text{wenn}& | ||
− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} & \upuparrows \vec{\mathbf{b}}& &(\text{da} \cos(0) = 1)\\ |
− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} &= 0& |
&\text{wenn}& | &\text{wenn}& | ||
− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} &\perp \vec{\mathbf{b}}& &(\text{da} \cos(\frac{\pi}{2}) = 0)\\ |
− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} &= -ab& |
&\text{wenn}& | &\text{wenn}& | ||
− | \vec{\ | + | \vec{\mathbf{a}} &\downarrow\uparrow \vec{\mathbf{b}}& &(\text{da} \cos(\pi) = -1) |
\end{align} | \end{align} | ||
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|Title=Arbeit im elektrischen Feld | |Title=Arbeit im elektrischen Feld | ||
|Contents= | |Contents= | ||
− | Ein häufiger Anwendungsfall des Skalarprodukts ergibt sich bei dem Begriff der Arbeit. Bewegt man beispielsweise eine Punktladung <math>Q</math> in einem homogenen elektrischen Feld <math>\vec{\ | + | Ein häufiger Anwendungsfall des Skalarprodukts ergibt sich bei dem Begriff der Arbeit. Bewegt man beispielsweise eine Punktladung <math>Q</math> in einem homogenen elektrischen Feld <math>\vec{\mathbf{E}}</math> entlang einer geraden Strecke <math>\vec{\mathbf{s}}</math> von einem Punkt <math>A</math> zu einem Punkt <math>B</math>, so lässt sich die dabei aufgewendete Arbeit mit Hilfe des Skalarprodukts wie folgt bestimmen: |
:<math> | :<math> | ||
− | W_{AB} = \vec{\ | + | W_{AB} = \vec{\mathbf{F}} \cdot \vec{\mathbf{s}} |
</math> | </math> | ||
− | Bei der Verschiebung der Ladung muss die Coulomb-Kraft <math>\vec{\ | + | Bei der Verschiebung der Ladung muss die Coulomb-Kraft <math>\vec{\mathbf{F}} = Q\vec{\mathbf{E}}</math> aufgebracht werden, das heißt in diesem Fall ergibt sich der folgende Zusammenhang: |
:<math> | :<math> | ||
− | W_{AB} = Q\vec{\ | + | W_{AB} = Q\vec{\mathbf{E}} \cdot \vec{\mathbf{s}} = Q E \cos{\alpha} |
</math> | </math> | ||
Allgemein, also wenn die elektrische Feldstärke nicht homogen und der Weg der Verschiebung von <math>A</math> nach <math>B</math> keine gerade Strecke ist, gilt: | Allgemein, also wenn die elektrische Feldstärke nicht homogen und der Weg der Verschiebung von <math>A</math> nach <math>B</math> keine gerade Strecke ist, gilt: | ||
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− | W_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{\ | + | W_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{\mathbf{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}} = Q \int_{A}^{B} \vec{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}} |
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Revision as of 13:27, 15 May 2014
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The dot product of two vectors results in a scalar value and is defined as
where describes the angle between the two vectors which ranges from to (see figure). The dot product is denoted with a simple point between the vectors or without any sign.
Regarding the right side of the above equation, the following correlation can be noted: If you project the vector on the vector , you get the distance . As a consequence the result of the dot product can be seen as the acreage of a rectangle with the side legths and . The projection can also be done contrariwise (projection of vector on the direction of vector ). So that you get the distance . The multiplication of this term with leads to a rectangle with equivalent acreage but different aspect ratio (see figure).
Another possibility to compute the dot product is to multiply the corresponding components and sum them up:
Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen:
Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt:
Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:
Example: Arbeit im elektrischen Feld
Ein häufiger Anwendungsfall des Skalarprodukts ergibt sich bei dem Begriff der Arbeit. Bewegt man beispielsweise eine Punktladung in einem homogenen elektrischen Feld entlang einer geraden Strecke von einem Punkt zu einem Punkt , so lässt sich die dabei aufgewendete Arbeit mit Hilfe des Skalarprodukts wie folgt bestimmen: Bei der Verschiebung der Ladung muss die Coulomb-Kraft aufgebracht werden, das heißt in diesem Fall ergibt sich der folgende Zusammenhang: Allgemein, also wenn die elektrische Feldstärke nicht homogen und der Weg der Verschiebung von nach keine gerade Strecke ist, gilt: |
Multimedial educational material
http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.1/index.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl.) http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu/brown/cs/exploratories/applets/dotProduct/dot_product_java_browser.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.2/index.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren mit der eingeschlossenen Fläche http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.math.ethz.ch/~lemuren/public/exercise/linalg/LinearCombinationInR2ETHZ.html Applet: Linearkombination im zweidimensionalem Raum |
Literature
- Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Edition (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Edition (Pearson Studium, 2011)