Difference between revisions of "Dot product"
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\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot b\vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha | \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot b\vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha | ||
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− | + | where <math>\alpha</math> describes the angle between the two vectors which ranges from <math>0</math> to <math>\pi</math> (see figure). The dot product is denoted with a simple point between the vectors or without any sign. <br/> | |
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Betrachtet man nun die rechte Seite der oben angegebenen Beziehung zur Bestimmung des Skalarprodukts und die zugehörige Abbildung, so lässt sich der folgende Zusammenhang feststellen: Projiziert man den Vektor <math>\vec{\textbf{b}}</math> auf die Richtung des Vektors <math>\vec{\textbf{a}}</math>, so erhält man hierbei gerade die Strecke <math>b\cos\alpha</math>. Daraus folgt, dass das Ergebnis des Skalarprodukts als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen <math>a</math> und <math>b\cos\alpha</math> aufgefasst werden kann. Die Projektion kann auch in umgekehrter Reihenfolge (Projektion des Vektors <math>\vec{\textbf{a}}</math> auf die Richtung des Vektors <math>\vec{\textbf{b}}</math>) ausgeführt werden, so dass man die Strecke <math>a\cos\alpha</math> erhält. Die Multiplikation dieses Terms mit <math>b</math> führt zu einem Rechteck mit identischem Flächeninhalt aber einem anderen Seitenverhältnis (siehe Abbildung). | Betrachtet man nun die rechte Seite der oben angegebenen Beziehung zur Bestimmung des Skalarprodukts und die zugehörige Abbildung, so lässt sich der folgende Zusammenhang feststellen: Projiziert man den Vektor <math>\vec{\textbf{b}}</math> auf die Richtung des Vektors <math>\vec{\textbf{a}}</math>, so erhält man hierbei gerade die Strecke <math>b\cos\alpha</math>. Daraus folgt, dass das Ergebnis des Skalarprodukts als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen <math>a</math> und <math>b\cos\alpha</math> aufgefasst werden kann. Die Projektion kann auch in umgekehrter Reihenfolge (Projektion des Vektors <math>\vec{\textbf{a}}</math> auf die Richtung des Vektors <math>\vec{\textbf{b}}</math>) ausgeführt werden, so dass man die Strecke <math>a\cos\alpha</math> erhält. Die Multiplikation dieses Terms mit <math>b</math> führt zu einem Rechteck mit identischem Flächeninhalt aber einem anderen Seitenverhältnis (siehe Abbildung). | ||
Revision as of 11:33, 15 May 2014
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The dot product of two vectors results in a scalar value and is defined as
where describes the angle between the two vectors which ranges from to (see figure). The dot product is denoted with a simple point between the vectors or without any sign.
Betrachtet man nun die rechte Seite der oben angegebenen Beziehung zur Bestimmung des Skalarprodukts und die zugehörige Abbildung, so lässt sich der folgende Zusammenhang feststellen: Projiziert man den Vektor auf die Richtung des Vektors , so erhält man hierbei gerade die Strecke . Daraus folgt, dass das Ergebnis des Skalarprodukts als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen und aufgefasst werden kann. Die Projektion kann auch in umgekehrter Reihenfolge (Projektion des Vektors auf die Richtung des Vektors ) ausgeführt werden, so dass man die Strecke erhält. Die Multiplikation dieses Terms mit führt zu einem Rechteck mit identischem Flächeninhalt aber einem anderen Seitenverhältnis (siehe Abbildung).
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Skalarprodukts ist dadurch gegeben, dass man zunächst die korrespondierenden Komponenten multipliziert und anschließend aufsummiert:
Ganz allgemein - zum Beispiel wenn man es nicht mit Vektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem zu tun hat - lässt sich das Skalarprodukt wie folgt bestimmen:
Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt dem Kommutativgesetz genügt. Somit gilt:
Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:
Example: Arbeit im elektrischen Feld
Ein häufiger Anwendungsfall des Skalarprodukts ergibt sich bei dem Begriff der Arbeit. Bewegt man beispielsweise eine Punktladung in einem homogenen elektrischen Feld entlang einer geraden Strecke von einem Punkt zu einem Punkt , so lässt sich die dabei aufgewendete Arbeit mit Hilfe des Skalarprodukts wie folgt bestimmen: Bei der Verschiebung der Ladung muss die Coulomb-Kraft aufgebracht werden, das heißt in diesem Fall ergibt sich der folgende Zusammenhang: Allgemein, also wenn die elektrische Feldstärke nicht homogen und der Weg der Verschiebung von nach keine gerade Strecke ist, gilt: |
Multimedial educational material
http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.1/index.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl.) http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu/brown/cs/exploratories/applets/dotProduct/dot_product_java_browser.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.2/index.html Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren mit der eingeschlossenen Fläche http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ Applet: Skalarprodukt zweier Vektoren (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.math.ethz.ch/~lemuren/public/exercise/linalg/LinearCombinationInR2ETHZ.html Applet: Linearkombination im zweidimensionalem Raum |
Literature
- Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Edition (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Edition (Pearson Studium, 2011)