Komponentendarstellung von Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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\vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_{x} = |\vec{\textbf{a}}| |\vec{\textbf{e}}_{x}| \cos(\alpha) = a \cos(\alpha) = a_x | \vec{\textbf{a}} \cdot \vec{\textbf{e}}_{x} = |\vec{\textbf{a}}| |\vec{\textbf{e}}_{x}| \cos(\alpha) = a \cos(\alpha) = a_x | ||
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+ | Folglich können die Komponenten eines Vektors einfach dadurch bestimmt werden, dass man das Skalarprodukt aus diesem Vektor und den jeweils zugehörigen Einheitsvektoren bildet: | ||
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+ | \vec{\textbf{a}} = | ||
+ | \vec{\textbf{e}}_x a_x + | ||
+ | \vec{\textbf{e}}_y a_y + | ||
+ | \vec{\textbf{e}}_z a_z = | ||
+ | \vec{\textbf{e}}_x \left( \vec{\textbf{e}}_x \cdot \vec{\textbf{a}} \right) + | ||
+ | \vec{\textbf{e}}_y \left( \vec{\textbf{e}}_y \cdot \vec{\textbf{a}} \right) + | ||
+ | \vec{\textbf{e}}_z \left( \vec{\textbf{e}}_z \cdot \vec{\textbf{a}} \right) | ||
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Version vom 6. Februar 2012, 11:08 Uhr
Komponentenzerlegung eines Vektors
Betrachtet man beispielsweise einen Vektor im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich dieser auch als Summe der Produkte seiner Komponenten und den zugehörigen Einheitsvektoren, die in die Richtungen der jeweiligen Koordinatenachsen zeigen, angeben:
Die Gültigkeit dieses Zusammenhangs lässt sich anhand des zweidimensionalen Beispiels in der Abbildung zur Vektorzerlegung nachvollziehen: Bildet man die Summe der beiden Vektoren und , so erhält man wieder den ursprünglichen Vektor . Führt man nun wie dargestellt einen Winkel ein, so lässt sich feststellen, dass sich die Strecke mit Hilfe des Kosinus wie folgt bestimmen lässt:
Mit Hilfe des Skalarprodukts (geometrisch interpretiert auch weil sich die Strecke bei der Projektion des Vektors auf die parallel zum Einheitsvektor verlaufende Linie ergibt) lässt sich dieser Zusammenhang dann wie folgt ausdrücken:
Folglich können die Komponenten eines Vektors einfach dadurch bestimmt werden, dass man das Skalarprodukt aus diesem Vektor und den jeweils zugehörigen Einheitsvektoren bildet: