Einheitsvektoren
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Unter einem Einheitsvektor versteht man allgemein einen Vektor mit dem Betrag beziehungsweise der Länge 1. Der Einheitsvektor zu einem gegebenen Vektor lässt sich dadurch bestimmen, dass man den gegebenen Vektor durch seinen Betrag dividiert:
Der Vektor hat die Länge 1 (es gilt also ) und zeigt in Richtung des Vektors . Auf diese Weise lässt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag (also einer skalarwertigen Größe) und dem dazugehörigen Einheitsvektor angeben. Der Vektor kann somit auch wie folgt dargestellt werden:
Beispiel: Richtungsangabe von Kräften
Beobachtet man die Wirkung von Ladungen aufeinander, so lässt sich feststellen, dass diese Kräfte aufeinander ausüben. Werden nun zwei Punktladungen und im Abstand zueinander positioniert (siehe Abbildung), so herrscht zwischen ihnen eine Kraft gemäß dem Coulombschen Gesetz: Bei der Kraft handelt es sich um eine gerichtete und damit vektorielle Größe, die in diesem Fall ausschließlich vom Abstand der Ladungen abhängt. In der Gleichung fehlt aber noch die Richtungsinformation über die Kraftwirkung. Diese muss in der Gleichung derart berücksichtigt werden, dass sich der Betrag der Kraft nicht ändert. Zu diesem Zweck kann ein Einheitsvektor in Richtung des Abstandsvektors eingeführt werden, der diese Information angibt: Damit kann die Gleichung für die Coulombkraft in vektorieller Form wie folgt angegeben werden: |
Beispiel: Bestimmung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor
Gegeben sei der Vektor (das steht für Transposition und ermöglicht die Schreibweise des Spaltenvektors als Zeilenvektor), zu dem der zugehörige Einheitsvektor bestimmt werden soll. In diesem Fall folgt: Das dieser Vektor tatsächlich die Länge 1 hat, lässt sich leicht durch die Bestimmung des Betrags überprüfen: |
Literatur
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
- Kurt Meyberg und Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
- Wolfgang Pavel und Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
- Anthony Croft und Robert Davison, Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)