Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente

Das Durchflutungsgesetz in der Elektrotechnik lautet:

$\oint_C \vec{\mathbf{H}}\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}=I$

Inhaltlich wird dabei die magnetische Feldstärke $\vec{\mathbf{H}}$ über eine geschlossene Kontur C integriert, um den durch diese Kontur eingeschlossene Strom I zu bestimmen. Weitere Informationen zur Integration sind bei der Erweiterung der Integralrechnung zu finden. Hier soll es jedoch unter anderem um das Wegelement $\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$ gehen.

Um in den jeweiligen Integralen deutlich zu machen, dass man über einen Weg, eine Fläche oder ein Volumen integriert, wird an das Integral ein Differential $\mathrm{d}s$,$\mathrm{d}A$ oder $\mathrm{d}V$ angehängt.

Betrachtet man in der Abbildung das Wegelement $\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$, so fällt auf, dass es in beliebige Richtungen zeigt, ebenso wie auch die Kontur im Durchflutungssatz eine beliebige Form annehmen kann. Wichtig ist hierbei, dass das Wegelement $\mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$ als infinitesimales Wegstück aufgefasst werden soll. Es ist also ein winzigkleines Wegstück, so klein, dass die Krümmung des einzelnen Wegstücks vernachlässigbar wird. So können alle Wegstücke aufsummiert werden und man erhält wie bei der Herleitung des Integrals die gesamte Kontur C. Anschließend muss nur noch darauf geachtet werden, dass der Weg richtig ausgedrückt wird. In dieser Vorlesung werden dabei nur einfache Verläufe entlang der Koordinatenachsen uns bekannter Koordinatensysteme verwendet. Für kompliziertere Verläufe gibt es mathematische Hilfsmittel auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll.

Vergleicht man nun aber das Differential einer Fläche oder eines Volumen, so ist deren Bedeutung etwas schwieriger zu fassen und auch die Transformation in verschiedene Koordinatensysteme ist nicht unbedingt trivial.

Im einfachsten Fall sind die zu bestimmenden Flächen- oder Volumenelemente in kartesischen Koordinaten gegeben. Zunächst ist hier eine Integrationsfläche zu sehen, die sich in x-und y-Richtung ausbreitet. Ein infinitesimales Teilstück dieser Fläche muss dem zufolge auch in beide Richtungen ausgedehnt sein, um die gesamte Fläche beschreiben zu können. Eine Integration über $\mathrm{d}A$, kann dann auch als Integration über beide Wegelemente $\mathrm{d}x$ und $\mathrm{d}y$ beschrieben werden, wie auch bei nicht infinitesimal kleinen Objekten die Fläche sich aus dem Produkt der Seiten x und y bestimmt.

Bei Volumen ist es im Grunde dasselbe, es muss nur auch noch die Ausdehnung in z-Richtung berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

Schwieriger wird es, wenn die Wegelemente nicht mehr geradlinig verlaufen, dann müssen zur Berechnung der Flächen- und Volumenelemente so genannte Korrekturfaktoren eingeführt werden. Als Beispiel betrachtet man einen Kreisbogen in der x-y Ebene. Möchte man dort ein infinitesimales Flächenelement bestimmen so reicht es nicht aus einfach $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ zu verwenden. Durch die Krümmung der Fläche würde der Fehler der dabei gemacht würde zu groß werden. Es bietet sich eine Koordinatentransformation in Polarkoordinaten an. Auf diese Weise kann entlang der Koordinatenlinien integriert werden, und man macht keinen Fehler. Zur Bestimmung des Korrekturfaktors betrachtet man nun ein Flächenelement des Kurvenstücks (vgl. Abbildung). Die Seitenlänge des Flächenelements entlang der r-Koordinate ist nicht gekrümmt und kann daher einfach als $\mathrm{d}r$ angenommen werden. Betrachtet man jedoch die $\varphi$-Abhängigkeit so sieht man das die Krümmung des Kreisbogens nicht nur von $\varphi$ abhängt sondern auch von dem Radius r. Dies entspricht einer Umfangberechnung des Kreises. Der Gesamtumfang eines Kreises hat $2\pi r$ betrachtet man allerdings nur ein kleines Teilstück des Kreises folgt: $\mathrm{d}\varphi r$. Aus dieser Überlegung folgt das das infinitesimale Flächenelement einer Kreisfläche sich zu $\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi$.

Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:

Beispiel: ' Um das Volumenelement anzuwenden betrachtet man eine Integration über ein Volumen hier in Kugelkoordinaten. Dazu sei hier eine homogene Raumladung $\rho$ und eine Kugel mit Radius R gegeben. Führt man nun die Integration aus ergibt sich die Ladung: $Q=\int_V\rho\mathrm{d}V$ Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten, insbesondere für die Winkel $\theta$ und $\varphi$: $0\leq\varphi\leq 2\pi$ $0\leq\vartheta\leq\pi$ Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu: $\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r$ Da aus der Abbildung folgt das für die Fläche eines infinitesimalen Stücks folgt, das nicht nur die Abhängigkeit in r-Richtung als auch die trigonometrischen Funktionen des Sinus und Cosinus folgen müssen. Eingesetzt folgt daraus: $Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta$ Da $\rho$ homogen ist, also unabhängig von dem Ort,kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen: $Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}$ Dies enspricht abgesehen von der Konstante $\rho$ dem Volumen einer Kugel, daher macht das eingesetzte Volumenelement einen Sinn, da mit den Grenzen der gesamten Kugel auch eine vollständige Kugel herauskommt.

Multimediale Lehrmaterialien

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)

Literatur

• Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
• Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
• Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
• Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
• Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg