Das Volumenintegral

Bei keiner anderen bisher betrachteten Integration ist ihr Nutzen so anschaulich, wie bei der Volumenintegration. Möchte man z.B. die Masse m eines Körpers bestimmen, dessen Dichte $\rho$ ortsabhängig ist, verwendet man das Volumenenintegral um die Masse zu berechnen.

Zur Herleitung muss der Körper zunächst in i würfelförmige Teilstücke $K_i$ mit i=1,...n zerlegt werden, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge $\delta$ aufweißt. Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke $V=\delta^3$ mit der spezifischen Dichte $\rho_i$, und summiert alle Produkte über das Volumen auf. So erhält man:

$m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i$

Bildet man nun den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge $\delta$ der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen $\infty$ geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals:

$m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V=\lim{\Delta V_i \to 0}\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i$

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

$\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V$

Beispiel: Masse eines Zylinders Gegeben ist die homogene Dichte $\rho=\frac{m}{V}$ eines Zylinders mit der Höhe l und dem Radius r. Gesucht wird seine Gesamtmasse. Da die Dichte nicht weiter ist, als die Masse pro Volumen, lässt sich die Masse durch die Integration der Dichte über das Volumen des Zylinders berechnen: $m=\int_V\rho\mathrm{d}V$ Dafür benötigt man zunächst das Volumenelement eines Zylinders: $\mathrm{d}V=\tilde r\cdot\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$ Da hier die Integrationsvariable und die Variable in der Funktion gleich sind, setzt man eine Tilde ($\tilde r$) über das r, um zu zeigen, dass es sich nicht um das selbe r handelt. Nun setzt man dieses Volumenelement und die Grenzen des Zylinders in die obige Gleichung ein: $m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho\cdot \tilde r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$ Da $\rho$unabhängig von den Integrationsgrenzen ist kann es vor das Integral gezogen werden, löst man nun das Integral ergibt sich: $m=\rho\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.z\right|_0^l=\rho\cdot\pi r^2\cdot l$ Da $\pi r^2\cdot l=V$ auch das Volumen des Zylinders ist lässt sich hier auch die einfache Form ohne Integral zur Lösung nutzen: $m=\rho\cdot V=\rho\cdot \pi r^2\cdot l$ Nicht mehr ganz so einfach wird die Rechnung jedoch wenn $\rho$ abhängig vom Volumen ist: Beispielsweise sei $\rho(V)$ gegeben durch: $\rho(V)=z\cdot\rho_0$ Führt man nun die selbe Rechnung durch, ergibt sich: $m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho_0\cdot \tilde z\tilde r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$ Die Konstante $\rho_0$ lässt sich wieder vorziehen und das Integral ergibt: $m=\rho_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l=\rho_0\cdot \pi r^2 \cdot \frac{l^2}{2}$ Aus dieser Betrachtung sieht man, das das Volumenintegral unersetzlich ist, sobald irgendeine Abhängigkeit zwischen dem Volumen und der Funktion existiert.

Beispiel: Raumladung einer Kugel Gegeben sei eine homogene Raumladung $\rho$ in einer Kugel mit dem Radius R. Gesucht ist die eingeschlossene Ladung Q der gesamten Kugel: $Q=\int_V\rho\mathrm{d}V$ Raumladung einer Kugel Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten insbesondere für die Winkel $\theta$ und $\varphi$: $0\leq\varphi\leq 2\pi$ $0\leq\vartheta\leq\pi$ Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinatenverwendet werden, dies ergibt sich aus der Symetrie zu: $\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r$ Eingesetzt folgt daraus: $Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta$ Da $\rho$ homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen: $Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}$

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

Hilfreiche Links

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration http://www.hoever.fh-aachen.de/SS06/mathe/skript/Mathe2-2.pdf Erklärung zum mehrdimensionalen Integrieren http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

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