Das Volumenintegral

Bei keiner anderen bisher betrachteten Integration ist ihr Nutzen so anschaulich, wie bei der Volumenintegration. Möchte man z.B. die Masse m eines Körpers bestimmen, dessen Dichte $\rho$ ortsabhängig ist, verwendet man das Volumenenintegral um die Masse zu berechnen.

Zur Herleitung muss der Körper zunächst in i würfelförmige Teilstücke $K_i$ mit i=1,...n zerlegt werden, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge $\delta$ aufweißt. Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke $V=\delta^3$ mit der spezifischen Dichte $\rho_i$, und summiert alle Produkte über das Volumen auf. So erhält man:

$m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i$

Bildet man nun den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge $\delta$ der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen $\infty$ geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals:

$m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V$

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

$\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V$

Beispiel: Raumladung einer Kugel Gegeben sei eine homogene Raumladung $\rho$ in einer Kugel mit dem Radius R. Gesucht ist die eingeschlossene Ladung Q der gesamten Kugel: $Q=\int_V\rho\mathrm{d}V$ Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten insbesondere für die Winkel $\theta$ und $\varphi$: $0\leq\varphi\leq 2\pi$ $0\leq\vartheta\leq\pi$ Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinatenverwendet werden, dies ergibt sich aus der Symetrie zu: $\mathrm{d}V=r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r$ Eingesetzt folgt daraus: $Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta$ Da $\rho$ homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen: $Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\varphi\cdot\frac{r^3}{3}$

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

Hilfreiche Links

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration http://www.hoever.fh-aachen.de/SS06/mathe/skript/Mathe2-2.pdf Erklärung zum mehrdimensionalen Integrieren http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

← Zurück: Das Flächenintegral

Übersicht: Erweiterung der Integralrechnung

Vorwärts: Erweiterung der Integralrechnung →