Das Volumenintegral

Bei keiner anderen bisher betrachteten Integration ist ihr Nutzen so anschaulich, wie bei der Volumenintegration. Möchte man z.B. die Masse m eines Körpers bestimmen, dessen Dichte $\rho$ ortsabhängig ist, braucht man das Volumenenintegral um die verschiedenen Dichten aufzusumieren.

DAfür zerlegt man den Körper zunächst in i würfelförmige Teilstücke K mit $K_i$ mit i=1,...n, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge $\delta$ aufweißt.

Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke $V=\delta^3$ mit der spezifischen Dichte $\rho_i$ und summiert wieder alle Produkte über das Volumen auf erhält man:

$m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i$

Bildet man den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge $\delta$ der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen $\infty$ geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals:

$m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V$

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

$\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V$

Beispiel: Raumladung einer Kugel

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

Hilfreiche Links

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration http://www.hoever.fh-aachen.de/SS06/mathe/skript/Mathe2-2.pdf Erklärung zum mehrdimensionalen Integrieren http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

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