Das Volumenintegral: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 15. März 2012, 11:33 Uhr

Bei keiner anderen bisher betrachteten Integration ist ihr Nutzen so anschaulich, wie bei der Volumenintegration. Möchte man z.B. die Masse m eines Körpers bestimmen, dessen Dichte $\rho$ ortsabhängig ist, verwendet man das Volumenenintegral um die Masse zu berechnen.

Zur Herleitung muss der Körper zunächst in i würfelförmige Teilstücke $K_i$ mit i=1,...n zerlegt werden, wobei jedes Würfelstück eine bestimmte Kantenlänge $\delta$ aufweißt. Anschließend multipliziert man das Volumen der Würfelstücke $V=\delta^3$ mit der spezifischen Dichte $\rho_i$ , und summiert alle Produkte über das Volumen auf. So erhält man:

m=\sum_{i=1}^nV_i\cdot\rho_i

Bildet man nun den Grenzwert, also lässt die Kantenlänge $\delta$ der Würfel gegen 0 gehen, während ihre Anzahl gegen $\infty$ geht, folgt daraus folgende Form des Volumenintegrals:

m=\int_V \rho(V)\mathrm{d}V

auch hier ist die andere Schreibweise möglich:

\iiint\limits_V \rho(V) \cdot \mathrm{d}V

Beispiel: Masse eines Zylinders

Gegeben ist die homogene Dichte $\rho=\frac{m}{V}$ eines Zylinders mit der Höhe l und dem Radius r. Gesucht wird seine Gesamtmasse. Diese berechnet sich durch Integration über das Volumen des Zylinders:

m=\int_V\rho\mathrm{d}V

Dafür benötigt man zunächst das Volumenelement eines Zylinders:

\mathrm{d}V=\tilde r\cdot\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

setzt man dieses Volumenelement und die Grenzen des Zylinders in die obige Gleichung ein folgt:

m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho\cdot \tilde r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Da $\rho$ unabhängig von den Integrationsgrenzen ist kann es vor das Integral gezogen werden, löst man nun das Integral ergibt sich: $m=\rho\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.z\right|_0^l=\rho\cdot\pi r^2\cdot l$ Da $\pi r^2\cdot l=V$ auch das Volumen des Zylinders ist lässt sich hier auch die einfache Form ohne Integral zur Lösung nutzen:

m=\rho\cdot V=\rho\cdot \pi r^2\cdot l

Nicht mehr ganz so einfach wird die Rechnung jedoch wenn $\rho$ abhängig vom Volumen ist: Beispielsweise sei $\rho(V)$ gegeben durch:

\rho(V)=z\cdot\rho_0

Führt man nun die selbe Rechnung durch, ergibt sich:

m=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^l\rho_0\cdot \tilde z\tilde r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z

Die Konstante $\rho_0$ lässt sich wieder vorziehen und das Integral ergibt:

m=\rho_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l

Beispiel: Raumladung einer Kugel

Gegeben sei eine homogene Raumladung $\rho$ in einer Kugel mit dem Radius R. Gesucht ist die eingeschlossene Ladung Q der gesamten Kugel:

Q=\int_V\rho\mathrm{d}V

Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten insbesondere für die Winkel $\theta$ und $\varphi$ :

0\leq\varphi\leq 2\pi

0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinatenverwendet werden, dies ergibt sich aus der Symetrie zu: $\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r$

Eingesetzt folgt daraus:

Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da $\rho$ homogen ist, also unabhängig von dem Ort, kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:

Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/DoubleIntegralForVolume/ Applet: Doppelintegral über ein Volumen mit Hilfe von Unter und Obersummen (engl./ free CDF-Player erforderlich)

http://www.surendranath.org/Applets/Electricity/BSLMFACC/BSL.html Applet zum Darstellen des Magnetischen Feldes

http://susannealbers.de/pk_applets/efeld/06wissen-physik-efeld.html Applet zu Punktladung und deren Feldlinien und Potenziale

Hilfreiche Links

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/t/t_parent.htm Verschiedene Anwendungen der Integration

http://www.hoever.fh-aachen.de/SS06/mathe/skript/Mathe2-2.pdf Erklärung zum mehrdimensionalen Integrieren

http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik1/skript/03-02.pdf Bebilderte Beschreibung zum Volumenintegral am Beispiel von Massepunkten

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 Die Konstante <math>\rho_0</math> lässt sich wieder vorziehen und das Integral ergibt:
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+:<math>m=\rho_0\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^2}{2}\right|_0^r\cdot\left.\frac{\tilde z^2}{2}\right|_0^l</math>
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