Selbsttest:Skalarprodukt

Skalarprodukt

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1. Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$ und $\vec{\mathbf{b}}$?

	$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$
	1,5
	15
→	Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar, daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:$\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos \alpha$. Der Winkel beträgt hier 0° daher wird der Kosinus zu 1. Weitere Erklärung siehe Skalarprodukt.

2. Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$ und $\vec{\mathbf{b}}$?

	$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$
	15
	0
→	Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar, daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:$\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos \alpha$. Der Winkel beträgt hier 90° daher wird der Kosinus zu 0. Weitere Erklärung siehe Skalarprodukt.

3. Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$ und $\vec{\mathbf{b}}$?

	$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$
	-15
	15
→	Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar, daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:$\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos \alpha$. Der Winkel beträgt hier 180° daher wird der Kosinus zu -1. Weitere Erklärung siehe Skalarprodukt.

4. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}=$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Skalarprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}}\cdot\vec{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot \vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha$.

5. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Skalarprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}}\cdot\vec{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot \vec{\mathbf{e}}_{b} = ab \cos \alpha$.

6. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Skalarprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}}\cdot\vec{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot \vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha$.

7. Lückentext:

Bitte fügen Sie folgende Wörter ein. Achten Sie dabei auf Groß- und Kleinschreibung:

Winkel, Seitenlängen, Fläche, Seitenverhältnis, Richtung

Das Skalarprodukt entspricht der des Rechtecks, dass durch die $b$ und $b\cos\alpha$ aufgespannt wird.

Ebenso kann der Vektor $\vec{\mathbf{b}}$ auf die des Vektors $\vec{\mathbf{a}}$ projeziert werden. Der Flächeninhalt bleibt dabei gleich, aber es ändert sich das .

Beim Skalarprodukt betrachtet man nur den von beiden Vektoren eingeschlossenen , damit der Kosinus eindeutig ist ($\alpha$ liegt zwischen 0° und 180°).

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