Unit vectors

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A unit vector is a vector with magnitude 1. The unit vector to a given vector $\vec{\mathbf{a}}$ can be determinde by dividing the given vector by its magnitude $|\vec{\mathbf{a}}|$:

$\vec{\textbf{e}}_{a} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix}$

The vector $\vec{\mathbf{e}}_{a}$ has the magnitude 1 (so $|\vec{\mathbf{e}}_a|=1$) and is pointed to the direction of $\vec{\mathbf{a}}$. So every vector can be described by its magnitude (so a scalar value) and the corresponding unit vector. Therefore $\vec{\mathbf{a}}$ can also be written as follows:

$\vec{\textbf{a}} = \frac{\vec{\textbf{a}}}{|\vec{\textbf{a}}|} |\vec{\textbf{a}}| = \vec{\textbf{e}}_{a} |\vec{\textbf{a}}|$

Example: Bestimmung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor Gegeben ist der Vektor $\vec{\textbf{b}} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \end{bmatrix}^\text{T}$ (das $^\text{T}$ steht für Transposition und ermöglicht die Schreibweise des Spaltenvektors als Zeilenvektor), zu dem der zugehörige Einheitsvektor bestimmt werden soll. In diesem Fall folgt: $\vec{\textbf{e}}_{b} = \frac{\vec{\textbf{b}}}{|\vec{\textbf{b}}|} = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5}\\ 0\\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}$ Das dieser Vektor tatsächlich die Länge 1 hat, lässt sich leicht durch die Bestimmung des Betrags überprüfen: $|\vec{\textbf{e}}_{b}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$