Selftest: Cross product

← Previous exercise: Dot product

Exercises for chapter {{{chapter}}} | Article: Vector algebra

Next exercise: Introduction to vector algebra →

Point added for a correct answer:
Points for a wrong answer:
Ignore the questions' coefficients:

1. Please mark the right transforms:

	$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ for } \vec{\mathbf{a}} \upuparrows\vec{\mathbf{b}}$
	$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ for } \vec{\mathbf{a}}\bot\vec{\mathbf{b}}$
→	The magnitude of the cross product results from the following equation: $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} =\vec{\mathbf{c}}\text{ with}\left|\vec{\mathbf{c}}\right| = ab\sin\alpha$. In this case the angle is 90° and so the magnitude is |ab|.
	$\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= \vec{\mathbf{e}}_cab \text{ for } \vec{\mathbf{a}}\uparrow\downarrow\vec{\mathbf{b}}$
→	The magnitude of the cross product results from the following equation: $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{c}}\text{ with}\left|\vec{\mathbf{c}}\right|= ab\sin\alpha$. Here the angle is 180° and the related sine is zero. So the result is 0.

2. Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen, dabei seien x,y,z als Koordinatenachsen zu verstehen, a und b seien beliebig:

	$\vec{\mathbf{b}} \times \vec{\mathbf{a}}=-(\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}})$
	$\vec{\mathbf{y}}\times\vec{\mathbf{x}}=-\vec{\mathbf{z}}$
	Das Vektorprodukt ist kommutativ.
→	Aus der ersten Antwort wird ersichtlich, dass das Vektorprodukt nicht kommutativ sein kann. Leicht lässt sich das durch die Rechte Hand Regel 1 zeigen: Wenn der Daumen der rechten Hand die x-Achse repräsentiert und der Zeigefinger die y-Achse, zeigt der abgespreizte Mittelfinger in die Richtung der z-Achse. Dreht man die Reihefolge um, also entspricht der Daumen der y-Achse und der Zeigefinger der x-Achse verläuft der dritte Vektor entgegen der z-Achse. Weitere Erklärung siehe Vektorprodukt

3. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=$$\vec{\mathbf{e}}_x+$$\vec{\mathbf{e}}_y+$$\vec{\mathbf{e}}_z$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung: $\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3$ oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha$

4. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=$$\vec{\mathbf{e}}_x+$$\vec{\mathbf{e}}_y+$$\vec{\mathbf{e}}_z$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3$oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha$

5. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=$$\vec{\mathbf{e}}_x+$$\vec{\mathbf{e}}_y+$$\vec{\mathbf{e}}_z$

→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:$\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3$oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: $\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha$

6. Gegeben sind folgende Vektoren.

Vektorprodukt

Bitte markieren Sie alle richtigen Aussagen mit Berücksichtigung der gegebenen Vektoren.

	Der Vektor $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}$ steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$ und $\vec{\mathbf{b}}$ aufgespannt wird.
	Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}$ aufgespannt wird.
→	Da die Formel des Vektorprodukts nicht nur das vektorielle Produkt, sondern auch den Sinus des eingeschlossenen Winkels enthält, ist diese Antwort falsch. Weitere Erklärung siehe Rechte Hand Regel 1
	Die Vektoren $\vec{\mathbf{a}}$, $\vec{\mathbf{b}}$ und $\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}$ bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand.

Your score is 0 / 0