Difference between revisions of "Selftest: Cross product"
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+ | <quiz> | ||
+ | {'''Please mark the right transforms:''' } | ||
+ | + <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ for } \vec{\mathbf{a}} \upuparrows\vec{\mathbf{b}}</math> | ||
+ | - <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= 0 \text{ for } \vec{\mathbf{a}}\bot\vec{\mathbf{b}}</math> | ||
+ | ||The magnitude of the cross product results from the following equation: <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}} =\vec{\mathbf{c}}\text{ with}\left|\vec{\mathbf{c}}\right| = ab\sin\alpha</math>. In this case the angle is 90° and so the magnitude is |ab|. | ||
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+ | - <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}= \vec{\mathbf{e}}_cab \text{ for } \vec{\mathbf{a}}\uparrow\downarrow\vec{\mathbf{b}}</math> | ||
+ | ||The magnitude of the cross product results from the following equation: <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{c}}\text{ with}\left|\vec{\mathbf{c}}\right|= ab\sin\alpha</math>. Here the angle is 180° and the related sine is zero. So the result is 0. | ||
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+ | {'''Bitte markieren Sie die korrekten Umformungen, dabei seien x,y,z als Koordinatenachsen zu verstehen, a und b seien beliebig:''' } | ||
+ | + <math>\vec{\mathbf{b}} \times \vec{\mathbf{a}}=-(\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}})</math> | ||
+ | + <math>\vec{\mathbf{y}}\times\vec{\mathbf{x}}=-\vec{\mathbf{z}} </math> | ||
+ | -Das Vektorprodukt ist kommutativ. | ||
+ | ||Aus der ersten Antwort wird ersichtlich, dass das Vektorprodukt nicht kommutativ sein kann. Leicht lässt sich das durch die [[Rechte Hand Regel 1]] zeigen: Wenn der Daumen der rechten Hand die x-Achse repräsentiert und der Zeigefinger die y-Achse, zeigt der abgespreizte Mittelfinger in die Richtung der z-Achse. Dreht man die Reihefolge um, also entspricht der Daumen der y-Achse und der Zeigefinger der x-Achse verläuft der dritte Vektor entgegen der z-Achse. Weitere Erklärung siehe [[Vektorprodukt]] | ||
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+ | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
+ | | type="{}" } | ||
+ | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=</math>{ 2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ 2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> | ||
+ | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung: <math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math> oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
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+ | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
+ | | type="{}" } | ||
+ | <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ 1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ -2 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ 3 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> | ||
+ | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
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+ | {'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:''' | ||
+ | | type="{}" } | ||
+ | <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math>{ -1 }<math>\vec{\mathbf{e}}_x+</math>{ 0.0 }<math>\vec{\mathbf{e}}_y+</math>{ 0.0 }<math>\vec{\mathbf{e}}_z</math> | ||
+ | ||Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Vektorprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:<math>\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} =(a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\mathbf{e}}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\mathbf{e}}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\mathbf{e}}_3 </math>oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: <math>\vec{\mathbf{c}} = ab\sin\alpha</math> | ||
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+ | { '''Gegeben sind folgende Vektoren.''' | ||
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+ | [[Image:Vektorrechnung_Vektorprodukt.jpg|300px|<caption>Vektorprodukt</caption>]] | ||
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+ | Bitte markieren Sie alle richtigen Aussagen mit Berücksichtigung der gegebenen Vektoren. | ||
+ | } | ||
+ | + Der Vektor <math>\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> steht senkrecht auf der Fläche, die von den Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | ||
+ | - Der Betrag des vektoriellen Produkts ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> aufgespannt wird. | ||
+ | ||Da die Formel des Vektorprodukts nicht nur das vektorielle Produkt, sondern auch den Sinus des eingeschlossenen Winkels enthält, ist diese Antwort falsch. Weitere Erklärung siehe [[Rechte Hand Regel 1]] | ||
+ | + Die Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math>, <math>\vec{\mathbf{b}}</math> und <math> \vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{b}}</math> bilden ein Rechtssystem, das heißt, sie sind angeordnet wie Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger der rechten Hand. | ||
+ | </quiz> | ||
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Revision as of 16:44, 23 May 2014
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