Vektorprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Februar 2012, 17:24 Uhr

Vektorprodukt

Regel von Sarrus

Bei der Multiplikation zweier Vektoren handelt es sich entweder um das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) oder aber um das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis ein Skalar, das Vektorprodukt hingegen liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Betrachtet man zwei Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ , so erhält man als Ergebnis des Vektorprodukts einen Vektor $\vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}$ , der senkrecht auf der von $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ aufgespannten Fläche steht (siehe Abbildung). Weiterhin bilden die drei Vektoren $\vec{\textbf{a}}$ , $\vec{\textbf{b}}$ und $\vec{\textbf{c}}$ ein Rechtssystem, das heißt sie sind gemäß der Rechten-Hand-Regel I miteinander verknüpft. Der Betrag des Vektors $\vec{\textbf{c}}$ lässt sich als Flächeninhalt des von $\vec{\textbf{a}}$ und $\vec{\textbf{b}}$ aufgespannten Parallelogramms interpretieren und wird wie folgt bestimmt:

|\vec{\textbf{c}}| = a b \sin(\alpha)\ \text{wenn}\ \vec{\textbf{c}} = \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}}

Dabei bezeichnet $\alpha$ den Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird und Werte zwischen $0$ und $180^\circ$ annehmen kann (siehe Abbildung). Weiterhin gilt es zu beachten, dass das Vektorprodukt ausschließlich für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum definiert ist. Rechnerisch gilt der folgende Zusammenhang:

\begin{align} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y\\ a_z b_x - a_x b_z\\ a_x b_y - a_y b_x\end{bmatrix} \end{align}

Als Merkhilfe für diesen Zusammenhang eignet sich die Regel von Sarrus: Entsprechend der Abbildung werden dabei die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems in eine erste Spalte und die anderen beiden Vektoren in eine zweite und dritte Spalte geschrieben. Auf diese Weise erhält man eine Matrix, deren ersten beiden Spalten nun erneut rechts neben diese Matrix geschrieben werden. Nun führt man die Multiplikationen und Additionen wie in der Abbildung gezeigt aus und erhält:

\begin{align} \vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}} &= \vec{\textbf{e}}_x a_y b_z + a_x b_y \vec{\textbf{e}}_z + b_x \vec{\textbf{e}}_y a_z\\ &= -\vec{\textbf{e}}_z a_y b_x - a_z b_y \vec{\textbf{e}}_x - b_z \vec{\textbf{e}}_y a_x\\ &= (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\textbf{e}}_x + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\textbf{e}}_y + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{\textbf{e}}_z \end{align}

Aus mathematischer Sicht bestimmt auf diese Weise die Determinante der genannten Matrix. Anhand der beschriebenen Zusammenhänge zeigt sich, dass das Skalarprodukt nicht dem Kommutativgesetz genügt. Stattdessen gilt:

\vec{\textbf{b}} \times \vec{\textbf{a}} = -(\vec{\textbf{a}} \times \vec{\textbf{b}})

Weiterhin ergeben sich einige Sonderfälle, die im technischen Kontext häufig zu Vereinfachungen führen:

\begin{align} \vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} &= 0 &\text{wenn}&\ \vec{\textbf{a}} \upuparrows \vec{\textbf{b}}\ \text{und}\ \vec{\textbf{a}} \downarrow\uparrow \vec{\textbf{b}}\ (\text{da} \sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0)\\ \vec{\textbf{a}}\times\vec{\textbf{b}} &= a b \vec{\textbf{e}}_c &\text{wenn}&\ \vec{\textbf{a}} \perp \vec{\textbf{b}} \end{align}

Beispiel: Beispiel für das Vektorprodukt

Beispiel.

Multimediale Lehrmaterialien

http://www.surendranath.org/Applets/Math/VectorProduct/VP.html Applet: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren in Kartesischen und Polarkoordinaten

http://demonstrations.wolfram.com/CrossProductOfVectorsInTheYZPlane/ Applet: Kreuzprodukt zweier Vektoren in der y-z-Ebene (engl.)

Hilfreiche Links

http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/kreuzprodukt.htm Bebilderte Erklärung zum Kreuzprodukt

http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/cd-vektoren/Vektorprodukt.pdf Übersicht zum Vektorprodukt

Literatur

Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
Anthony Croft and Robert Davison, Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)

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-* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011).
+* Manfred Albach, ''Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen'', 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
-* Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001).
+* Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, ''Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung'', 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
 * Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, ''Mathematik für Naturwissenschaftler'', 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
 * Anthony Croft and Robert Davison, ''Mathematics for Engineers: a modern interactive approach, 3. Auflage (Pearson-Prentice Hall, 2008)

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