Selbsttest:Das Volumenintegral

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Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein (Fläche, Linie, Volumen). Damit handelt es sich um eine Schachtelung von(eins, zwei, drei) Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential $\mathrm{d}V$ ist immer eine (vektorwertige, skalarwertige) Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann.

Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener (Flächenladungsdichte, Raumladungsdichte).

2. Gegeben ist eine zylinderförmige homogene Raumladung mit der Länge l und dem Radius R. Wie lauten die korrekten Lösungen des Volumenintegrals, wenn die Gesamtladung bestimmt werden soll?

	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Richtig
	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, r\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$
→	Falsch: Hier wird über x,y und z Integriert, allerdings sind die Grenzen in Zylinderkoordinaten ausgedrückt, man müsste sie entsprechend anpassen um das Volumen in kartesischen Koordinaten berechnen zu können. Weitere Erklärung siehe: Das Volumenintegral
	$Q_{ges}=\rho\,\int_V\,\mathrm{d}V=\rho\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Richtig: Da die Raumladung homogen ist, ist sie über das gesamte Volumen konstant und kann vor das Integral gezogen werden.
	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{\pi}\int_0^R\rho\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Falsch: Hier wird nur über die Hälfte des Zylinders integriert, da die Integrationsgrenze hier $\pi$ und nicht $2\pi$ ist.

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