Selbsttest:Das Volumenintegral

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Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein (Fläche, Linie, Volumen). Damit handelt es sich um eine Schachtelung von(eins, zwei, drei) Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential $\mathrm{d}V$ ist immer eine (vektorwertige, skalarwertige) Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann.

Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener (Flächenladungsdichte, Raumladungsdichte).

2. Gegeben ist eine zylinderförmige homogene Raumladung mit der Länge l und dem Radius R.

Wie lauten die korrekten Lösungen des Volumenintegrals, wenn die Gesamtladung bestimmt werden soll?

	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Falsch: Hier fehlt der Vorfaktor r, der bei der Verwendung des Zylinderkoordinatensystems im Integral stehen muss. Weitere Erklärung siehe: Das Volumenintegral
	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Richtig
	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, r\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$
→	Falsch: Hier wird über x,y und z Integriert, allerdings sind die Grenzen in Zylinderkoordinaten ausgedrückt, man müsste sie entsprechend anpassen um das Volumen in kartesischen Koordinaten berechnen zu können. Weitere Erklärung siehe: Das Volumenintegral
	$Q_{ges}=\rho\,\int_V\,\mathrm{d}V=\rho\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Richtig: Da die Raumladung homogen ist, ist sie über das gesamte Volumen konstant und kann vor das Integral gezogen werden.
	$Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{\pi}\int_0^R\rho\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$
→	Falsch: Hier wird nur über die Hälfte des Zylinders integriert, da die Integrationsgrenze hier $\pi$ und nicht $2\pi$ ist.

3. Markieren Sie die korrekten Aussagen!

	Einem Volummenelement kann keine Richtung zugeordnet werden.
	Einem Volumenelement kann eine Richtung zugeordnet werden.
	Es wird immer über eine quadarförmige Anordnung integriert.
	Die Integrationsgrenzen hängen nur von der Anordnung ab.
	Die Integrationsgrenzen hängen von der Anordnung und dem gewählten Koordinatensystem ab.
	Die Integrationsgrenzen hängen nur von dem gewählten Koordinatensystem ab.

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