Selbsttest:Das Volumenintegral: Unterschied zwischen den Versionen

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-<math>Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>
 
-<math>Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>
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|Falsch: Hier fehlt der  Vorfaktor r, der bei der Verwendung des Zylinderkoordinatensystems im Integral stehen muss. Weitere Erklärung siehe: [[Das Volumenintegral]]
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||Falsch: Hier fehlt der  Vorfaktor r, der bei der Verwendung des Zylinderkoordinatensystems im Integral stehen muss. Weitere Erklärung siehe: [[Das Volumenintegral]]
 
+<math>Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>
 
+<math>Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>
 
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Version vom 19. Oktober 2012, 11:42 Uhr

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1. Vervollständigen Sie den Text, indem Sie das passende Wort hinter der Lücke auswählen und einsetzen.

Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein (Fläche, Linie, Volumen). Damit handelt es sich um eine Schachtelung von(eins, zwei, drei) Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential \mathrm{d}V ist immer eine (vektorwertige, skalarwertige) Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann.
Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener (Flächenladungsdichte, Raumladungsdichte).

2. Gegeben ist eine zylinderförmige homogene Raumladung mit der Länge l und dem Radius R. Wie lauten die korrekten Lösungen des Volumenintegrals, wenn die Gesamtladung bestimmt werden soll?

Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z
→Falsch: Hier fehlt der Vorfaktor r, der bei der Verwendung des Zylinderkoordinatensystems im Integral stehen muss. Weitere Erklärung siehe: Das Volumenintegral
Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z
→Richtig
Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho\, r\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
→Falsch: Hier wird über x,y und z Integriert, allerdings sind die Grenzen in Zylinderkoordinaten ausgedrückt, man müsste sie entsprechend anpassen um das Volumen in kartesischen Koordinaten berechnen zu können. Weitere Erklärung siehe: Das Volumenintegral
Q_{ges}=\rho\,\int_V\,\mathrm{d}V=\rho\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z
→Richtig: Da die Raumladung homogen ist, ist sie über das gesamte Volumen konstant und kann vor das Integral gezogen werden.
Q_{ges}=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{\pi}\int_0^R\rho\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z
→Falsch: Hier wird nur über die Hälfte des Zylinders integriert, da die Integrationsgrenze hier \pi und nicht 2\pi ist.

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