Selbsttest:Das Volumenintegral: Unterschied zwischen den Versionen
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Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein { Volumen }('''Fläche, Linie, Volumen'''). Damit handelt es sich um eine Schachtelung von{ drei }('''eins, zwei, drei''') Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential <math>\mathrm{d}V</math> ist immer eine { skalarwertige }('''vektorwertige, skalarwertige''') Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann. | Das Volumenintegral beschreibt eine Integration über ein { Volumen }('''Fläche, Linie, Volumen'''). Damit handelt es sich um eine Schachtelung von{ drei }('''eins, zwei, drei''') Integrationsintervallen, so dass es auch genau drei Integrationsvariablen gibt. Das Differential <math>\mathrm{d}V</math> ist immer eine { skalarwertige }('''vektorwertige, skalarwertige''') Größe, da einem Volumenelement keine Richtung zugeordnet werden kann. | ||
Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener { Raumladungsdichte }('''Flächenladungsdichte, Raumladungsdichte'''). | Ein häufiger Anwendungsfall des Volmenintegrals ist die Bestimmung der Gesamtladung bei vorgegebener { Raumladungsdichte }('''Flächenladungsdichte, Raumladungsdichte'''). | ||
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+ | {Gegeben ist eine zylinderförmige homogene Raumladung mit der Länge l und dem Radius R. Wie lauten die korrekten Lösungen des Volumenintegrals, wenn die Gesamtladung bestimmt werden soll? | ||
+ | } | ||
+ | -<math>Q_{ges}=\int_V\rho\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math> | ||
+ | |Falsch: Hier fehlt der Vorfaktor r, der bei der Verwendung des Zylinderkoordinatensystems im Integral stehen muss. Weitere Erklärung siehe: [[Das Volumenintegral]] | ||
+ | +<math>Q_{ges}=\int_V\rho\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math> | ||
+ | ||Richtig | ||
+ | -<math>Q_{ges}=\int_V\rho\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho r\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math> | ||
+ | ||Falsch: Hier wird über x,y und z Integriert, allerdings sind die Grenzen in Zylinderkoordinaten ausgedrückt, man müsste sie entsprechend anpassen um das Volumen in kartesischen Koordinaten berechnen zu können. Weitere Erklärung siehe: [[Das Volumenintegral]] | ||
+ | +<math>Q_{ges}=\rho\int_V \mathrm{d}V=\rho\int_0^l\int_0^{2\pi}\int_0^R r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math> | ||
+ | ||Richtig: Da die Raumladung homogen ist, ist sie über das gesamte Volumen konstant und kann vor das Integral gezogen werden. | ||
+ | -<math>Q_{ges}=\int_V\rho\mathrm{d}V=\int_0^l\int_0^{\pi}\int_0^R\rho r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math> | ||
+ | ||Falsch: Hier wird nur über die Hälfte des Zylinders integriert, da die Integrationsgrenze hier <math>\pi</math> und nicht <math>2\pi</math> ist. | ||
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Version vom 19. Oktober 2012, 11:38 Uhr
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