Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht

Einführung

Die Position eines Punktes P im dreidimensionalen Raum bezogen auf einen anderen willkürlich gewählten Bezugspunkt Q kann mithilfe eines von Q nach P zeigenden Vektors eindeutig gekennzeichnet werden. Eine vollständige mathematische Beschreibung dieses Vektors kann durch die Angabe der Koordinaten von Anfangspunkt Q und Endpunkt P erfolgen. Unter den Koordinaten eines Punktes versteht man Zahlenwerte zur Festlegung seiner Position im Raum. Alternativ zu diesen Koordinaten kann der Vektor auch durch die Angabe seiner drei Komponenten eindeutig beschrieben werden. Diese werden üblicherweise so gewählt, dass sie senkrecht aufeinander stehen, man spricht dann davon, dass diese Komponenten zueinander orthogonal sind.

Sowohl zur Angabe der Koordinatenwerte als auch bei der Zerlegung des Vektors in seine Komponenten bedient man sich der Koordinatensysteme. Es erweist sich in der Praxis als sehr zweckmäßig, ein der jeweiligen Problemstellung angepasstes Koordinatensystem zu verwenden. Bei den in den folgenden Abschnitten betrachteten drei Fällen, nämlich den kartesischen Koordinaten, den Zylinderkoordinaten und den Kugelkoordinaten handelt es sich um orthogonale Rechtssysteme, d. h. die in Richtung wachsender Koordinatenwerte weisenden Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}$, $\vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}$ stehen senkrecht aufeinander und erfüllen somit die Bedingung der Orthogonalität:

$\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} \cdot \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} = 0$

Formel (1)

Bei einem Rechtssystem liefert das Vektorprodukt zweier aufeinander folgender Einheitsvektoren den jeweils nächsten Einheitsvektor, so dass die nachstehenden Gleichungen gelten:

$\vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3}, \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1}, \vec{\textbf{e}}_\mathrm{3} \times \vec{\textbf{e}}_\mathrm{1} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{2}$

Formel (2)

Übersicht

Das Kartesische Koordinatensystem

Krummlinige Koordinaten

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten

Das kartesische Koordinatensystem
Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten