Das Linienintegral

Das Linienintegral

Die Länge einer Geraden ist bei Kenntnis von Anfangs- und Endpunkt leicht zu bestimmen. Schwieriger ist die Bestimmung der Länge einer gebogenen Kontur wie z.B. einer Wurfparabel.

Um solch ein Linienintegral zu bestimmen, ist die Betrachtung über die infinitesimalen Wegelemente hilfreich. Hier wählt man eine Funktion von z. B. zwei Veränderlichen f(x,y) entlang eines zwischen den Endpunkten $P_A$ und $P_B$ liegenden Kurvenbogens der Kontur C. Aus der Schule sollten bereits Integrale die von einer Veränderlichen zum Beispiel $f(x)$ abhängig sind bekannt sein. Allerdings können Integrale genausogut von zwei oder mehr Veränderlichen abhängen, solche Dinge ergeben sich jedoch meistens aus den konkreten Aufgabenstellungen. Für diese Betrachtung wird der Kurvenbogen C in n Teilstücke $\Delta s_i$ mit i = 1 ... n zerlegt und auf jedem Teilstück wird ein Punkt $P_i$ mit den Koordinaten $x_i, y_i$ bestimmt.

Berechnung des Linienintegrals

Damit man einen Näherungswert für das Linienintegral bekommt, bildet man zunächst das Produkt aus den Bogenlängen $\Delta s_i$ und den Funktionswerten $f(x_i, y_i)$ an den Punkten $P_i$. Danach werden diese Produkte aufsummiert und man erhält so die Näherung:

$\int\limits_{P_A}^{P_B} f(x, y) \mathrm{d}s \approx \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta s_i .$

Da nicht nur nach einer ungefähren Approximation gefragt ist, sondern eine möglichst genaue Darstellung, bildet man den Grenzwert dieser Summe und lässt die Anzahl der Teilstücke n gegen Unendlich gehen, während die Ausdehnung der Bogenlängen gegen Null geht. Auf diese Weise erhält man eine sehr feine Unterteilung der Kontur C und die Summe geht gegen ihren Grenzwert (sofern er existiert und von der Wahl der Bogenlängen $\Delta s_i$ und den Punkten $P_i$ unabhängig ist). So ergibt sich das Linienintegral der Kontur C zwischen den Punkten $P_A$ und $P_B$.

$\int\limits_{P_A}^{P_B} f(x, y) \mathrm{d}s = \lim_{\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta s_i .$

Beispiel: Temperatur einer Metallplatte? weiteres Beispiel aus der Elektrotechnik

Das Linienintegral einer vektoriellen Größe

Im vorherigen ging es um die Integration skalarer Größen, hat man aber beispielsweise ein elektrisches Feld $\vec{\mathbf{E}}(x, y, z)$ angelegt, betrachtet man nicht nur die Stärke sondern auch die Richtung des Feldes im Raum. Um das hinreichend berücksichtigen zu können muss die obige Form des Linienintegrals angepasst werden. Deswegen hat man sowohl bei der Funktion $\vec{\textbf{E}}(x, y, z)$ als auch bei dem Wegelement $\mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ eine vektorielle Größe, da es in diesem Beispiel letzlich den Unterschied zwischen einer positiven, negativen oder gar keiner Spannung macht, wie man im folgenden erkennen kann.

Linienintegral einer vektoriellen Größe

Zur Bestimmung des Linienintegrals einer vektoriellen Größe kann ebenso wie bei skalaren Größen das Integral über die infinitesimalen Wegelemente berechnet werden. Man verwendet nun wieder eine Kontur C, die zwischen den Punkten $P_A$ und $P_B$ verläuft. Allerdings sind diesmal, wie schon erwähnt, die Wegelemente $\Delta\vec{\textbf{s}}_i$ gerichtete Größen. Auch hier wird die Kontur in n Teilstücke $\Delta\vec{\textbf{s}}_i$ mit i = 1 ... n unterteilt und wie oben ein Punkt $P_i$ mit den Koordinaten $x_i , y_i , z_i$ und einer vektorielle Größe $\vec{\mathbf{E}}(x_i, y_i, z_i)$ zugeordnet. Um nun das Linienintegral berechnen zu können muss das Skalarprodukt zwischen jedem Wegelement, dem dazugehörigen Funktionswert und dem eingeschlossenem Winkel $\alpha_i$ gebildet werden.

$\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \cdot\Delta\vec{\textbf{s}}_i = \left| \vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i) \right| \left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i)$

Summiert man nun ebenfalls alle Skalarprodukte auf und bildet gemäß der Gleichung des Linienintegrals der skalaren Größen den Grenzwert, erhält man für das Linienintegral einer vektoriellen Größe folgende Form:

$\int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}} = \lim_{\Delta s_i \to 0}\sum_{i=1}^n \left|\vec{\textbf{E}}(x_i, y_i, z_i)\right|\left|\Delta\vec{\textbf{s}}_i\right|\cos(\alpha_i) .$

Beispiel: Spannung im elektrischen Feld Ein häufiger Anwendungsfall des Linienintegrals ergibt sich bei der Bestimmung der Spannung im elektrischen Feld. Bildet man beispielsweise eine Kontur gemäß der Abbildung in einem homogenen gleichgerichtetem elektrischen Feld erhält man folgendes Ringintegral: $U=\oint\limits_C\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}}$ Um dieses Integral zu lösen, können wir vier Fälle unterscheiden: Die Strecke $P_1$ bis $P_2$, die mit dem Elektrischen Feld verläuft. Die Strecke $P_3$ bis $P_4$, die entgegen dem Elektrischen Feld verläuft. Und die Strecken $P_2$ bis $P_3$ und $P_4$ bis $P_1$, die senkrecht zu dem elektrischen Feld verlaufen. Nun unterteilt man das Integral in diese vier Bereiche und bildet jeweils das Skalarprodukt: $U=\int\limits_{P_1}^{P_2}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_3}^{P_4}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_2}^{P_3}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}+\int\limits_{P_4}^{P_1}\vec{\textbf{E}}\cdot \mathrm{d}\vec{\textbf{s}}$ Daraus folgt: $U=|\vec{\textbf{E}}|\cdot |(P_2-P_1)|\cdot \underbrace{\cos{0}}_{=1}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_4|\cdot\underbrace{\cos{180}}_{=-1}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_2|\cdot\underbrace{\cos{90}}_{=0}+|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_1-P_4|\cdot\underbrace{\cos{90}}_{=0}$ Durch die eingeschlossenen Rechten Winkel in den letzen beiden Fällen ergibt das Skalarprodukt Null und es bleibt nur noch übrig: $U=|\vec{\textbf{E}}|\cdot |(P_2-P_1)|-|\vec{\textbf{E}}|\cdot|P_3-P_4|$ Da hier die Strecken zwischen $P_1$ und $P_2$ und $P_3$ und $P_4$ betragsmäßig gleich sind, folgt aus aus dieser Betrachtung: $U= 0$ Dies ist eine wichtige Erkenntnis im elektrostatischen Feld: Das Ringintegral über ein homogenes, elektrisches Feld ergibt immer Null.

Beispiel: Rollende Kugel in einer Laufrinne Auf eine Kugel, die eine halbkreisförmige Laufrinne vom Anfangspunkt $P_A$ bis zum Endpunkt $P_B$ rollt wirkt eine ortsunabhängige, konstante Kraft $\vec{\textbf{F}}$ in Richtung der Verbindungslinie der beiden Punkte $P_A$ und $P_B$. Welche Arbeit wird an der Kugel infolge der Kraft $\vec{\textbf{F}}$ verrichtet? Bewegungsvorgang im Kraftfeld Der Bewegungsvorgang wird im zylindrische Koordinatensystem mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises beschrieben, dadurch bewegt sich die Kugel in Richtung wachsender $\varphi$-Werte auf einem Halbkreis mit konstanten Radius $\rho = a$. So ist auf dem Halbkreis der Winkel $\alpha$ zwischen der Bewegungsrichtung $\vec{\textbf{e}}_\alpha$ und der Kraftrichtung $\vec{\textbf{e}}_y$ bekannt, da die vorgegebene Kraft sich am einfachsten mit einer kartesischen Komponente $\vec{\textbf{F}} = \vec{\textbf{e}}_y F_Y$ beschreiben lässt. Um die geleistete Arbeit W zu bestimmen, muss die Kraft in Komponenten zerlegt werden, da nur die in Richtung der Bewegung wirkende Kraftkomponente einen Beitrag zur Arbeit leistet. Eine Komponente wirkt in Richtung $\vec{\textbf{e}}_\alpha$und eine weitere senkrecht dazu in Richtung $\vec{\textbf{e}}_\rho$. Nun benötigt man das Skalarprodukt aus der vektoriellen Kraft und dem gerichteten Wegelement, dessen Integration vom Anfangspunkt $P_A$ bis zum Endpunkt $P_B$ mit der obigen Gleichung das Ergebnis liefert: $W = \int\limits_{P_A}^{P_B}\vec{\textbf{F}}\cdot d\vec{\textbf{s}} = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\vec{\textbf{e}}_yF_y\cdot \vec{\textbf{e}}_\alpha a d\phi = aF_y \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(\vec{\textbf{e}}_\rho\sin\alpha+\vec{\textbf{e}}_\alpha\cos\alpha)\cdot\vec{\textbf{e}}_\alpha d\varphi = aF_y \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi = 2aF_y .$

Multimediale Lehrmaterialien

http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/antapp.html Applet: verschiedener Kurvenbeispiele und ihre Integrale (engl.) http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html Applet zum Verständnis von Integralen http://www.uni-due.de/~matj00/bauws10/VorlBau100518.html Applet zum Verständnis von Integralen

Hilfreiche Links

http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Interaktives Arbeitsblatt zur Integration http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)