Cramersche Regel
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Die Cramersche Regel wird auch als Determinantenverfahren bezeichnet und stellt eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem , anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die Koeffizientenmatrix
quadratisch ist und ihre Determinante
nicht verschwindet (es muss also
gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.
Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:
Dabei bezeichnet die
-Matrix, bei der die
-te Spalte von
durch den Spaltenvektor
ersetzt wurde. Das Element (die Komponente)
des Vektors
ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von
und der Determinante von
.
Zur Veranschaulichung der Regel wird nachfolgend das Beispiel aus der Einführung aufgegriffen:
Dieses Gleichungssystem der Form wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Ströme
,
und
bestimmt werden. Der Strom
ist das erste Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch zunächst die erste Spalte der Widerstandsmatrix
durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt: