Determinante

← Zurück: Lösung linearer Gleichungssysteme

Übersicht: Lineare Gleichungssysteme

Vorwärts: Cramersche Regel →

Unter einer Determinante versteht man eine Zahl, die auf eindeutige Weise einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Zahl sagt etwas aus (determinieren = bestimmen/festlegen) über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems der Form $\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}$ und spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der zugehörigen Lösung (vgl. Cramersche Regel). Die Ordnung einer Determinante entspricht der Anzahl der Zeilen (da sich der Begriff auf quadratische Matrizen bezieht stimmt diese mit der Anzahl der Spalten überein) der betrachteten Matrix. Ist die Determinante einer Matrix $\textbf{A}$ zu bestimmen, so wird dies durch folgende Schreibweisen gekennzeichnet:

$\det \textbf{A} = |\textbf{A}|$

Neben der Verwendung des Operators $\det$ werden also auch häufig einfach Betragsstriche verwendet.

Es lässt sich zeigen, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix $\textbf{A}$ ungleich Null ist (es muss also $\det\textbf{A} \neq 0$ gelten). Ist dies nicht der Fall, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung (die Zeilen von $\textbf{A}$ sind dann nicht linear unabhängig). Wurde das lineare Gleichungssystem im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse ermittelt, so ist dieses jedoch normalerweise eindeutig lösbar.

Determinanten zweiter Ordnung

Eine Determinante zweiter Ordnung bezieht sich auf eine $2\times 2$-Matrix. In diesem Fall kann die Determinante sofort angegeben werden, indem man die Produkte der Diagonalelemente wie folgt voneinander subtrahiert:

Ein einfaches Zahlenbeispiel für diesen Fall findet sich unten im Artikel Cramersche Regel.

Beispiel: Determinante einer Widerstandsmatrix Gegeben ist die nachfolgende Widerstandsmatrix, deren Determinante (beispielsweise zur Anwendung der Cramerschen Regel) bestimmt werden soll: $\textbf{W} = \begin{bmatrix} R_2+R_3+R_4 & R_2+R_3\\ R_2+R_3 & R_1+R_2+R_3+R_4 \end{bmatrix}$ Gemäß der obigen Vorschrift lässt sich das Ergebnis sofort angeben: $\det \textbf{W} = (R_2+R_3+R_4)(R_1+R_2+R_3+R_4)-(R_2+R_3)(R_2+R_3)$

Determinanten dritter Ordnung

Zur Bestimmung der Determinante einer $3\times 3$-Matrix ist die Regel von Sarrus (auch als Jägerzaun-Regel bekannt) ein hilfreiches Werkzeug. Zunächst schreibt man die ersten zwei Spalten erneut rechts neben die Matrix und verbindet die Diagonalen mit Linien, die die auszuführenden Rechenoperationen vorgeben:

Die Determinante ergibt sich dann wie folgt aus den Diagonalelementen:

$\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

Beispiel: Einfaches Zahlenbeispiel Gegeben ist eine $3\times 3$-Matrix $\textbf{A}$, von der die Determinante $\det\textbf{A}$ bestimmt werden soll: $\textbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 1\\ 6 & 5 & 0\\ 2 &-7 & 3 \end{bmatrix}$ Zunächst schreibt man die ersten zwei Spalten wieder rechts neben die Matrix und ergänzt gedanklich die oben eingezeichneten Linien. Damit folgt: $\begin{vmatrix} 0 & 3 & 1\\ 6 & 5 & 0\\ 2 &-7 & 3 \end{vmatrix}\,\,\, \begin{matrix} 0 & 3\\ 6 & 5\\ 2 & -7 \end{matrix}$ Anschließend kann gemäß des obigen Schemas gerechnet werden und man erhält das Ergebnis: $\det{\mathbf{A}}=0\cdot 5\cdot 3+3\cdot 0\cdot 2+1\cdot 6\cdot(-7)-1\cdot 5\cdot 2 -0 \cdot 0\cdot(-7)-3\cdot 6\cdot 3=0+0-42-10-0-54=-106$

Determinanten höherer Ordnung

Zur Berechnung von Determinanten höherer Ordnung (Matrizen größer $3\times 3$) kann zum Beispiel der Laplacesche Entwicklungssatz verwendet werden. Dieser stellt eine Rechenvorschrift dar, mit deren Hilfe durch Streichen von Zeilen und Spalten zunächst kleinere Teilmatrizen ermittelt werden, deren Determinanten wieder mit den obigen Regeln bestimmt werden können. Dabei lässt sich eine Determinante sowohl nach einer beliebig wählbaren Zeile als auch nach einer beliebig wählbaren Spalte „entwickeln“.

Für eine $n\times n$-Matrix gelten die folgenden Zusammenhänge:

$\det \mathbf{A} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det \mathbf{A}_{ij}$ (Entwicklung nach der frei wählbaren Spalte $j$)

$\det \mathbf{A} = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det \mathbf{A}_{ij}$ (Entwicklung nach der frei wählbaren Zeile $i$)

Dabei ist $\mathbf{A}_{ij}$ diejenige $(n-1) \times (n-1)$-Teilmatrix von $\mathbf{A}$, die sich durch das Streichen der Zeile $i$ und der Spalte $j$ ergibt. Sind die sich ergebenden Teilmatrizen größer als $3\times 3$, so kann hierauf wiederum der Laplacesche Entwicklungssatz angewendet werden. Durch eine „geschickte“ Wahl der Entwicklungszeile beziehungweise -spalte können sich weitere Rechnungen vereinfachen.

Beispiel: Überprüfung der Regel von Sarrus Der Laplacesche Entwicklungssatz gilt für beliebige quadratische Matrizen und damit auch für $3\times 3$-Matrizen. In diesem Fall bietet sich die Verwendung der Regel von Sarrus an, die jetzt mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes überprüft werden soll. Ausgangspunkt ist zunächst eine allgemeine $3\times 3$-Matrix: $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ Jetzt wird nach der zweiten Spalte (also gilt $j=2$) entwickelt (diese wurde willkürlich gewählt), so dass durch Einsetzen in die obige Beziehung folgt: $\det \mathbf{A} = \sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+2} \cdot a_{i2} \cdot \det \mathbf{A}_{i2} = \underbrace{\underbrace{(-1)^{3}}_{-1} \cdot a_{12} \cdot \det \mathbf{A}_{12}}_{i=1}\, +\, \underbrace{\underbrace{(-1)^{4}}_{+1} \cdot a_{22} \cdot \det \mathbf{A}_{22}}_{i=2}\, +\, \underbrace{\underbrace{(-1)^{5}}_{-1} \cdot a_{32} \cdot \det \mathbf{A}_{32}}_{i=3}$ Nun sind noch die Determinanten der Matrizen $\mathbf{A}_{12}$, $\mathbf{A}_{22}$ und $\mathbf{A}_{32}$ zu bestimmen. Dabei handelt es sich um die Teilmatrizen, die sich durch Streichen derjenigen Zeilen und Spalten ergeben, die durch die Indizes dieser Matrizen vorgegeben werden ($\mathbf{A}_{32}$ heißt zum Beispiel Streichen der 3. Zeile und 2. Spalte). Damit folgt: Die Determinanten dieser Teilmatrizen ergeben sich also wie folgt: $\det \mathbf{A}_{12} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\quad \det \mathbf{A}_{22} = a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\quad \det \mathbf{A}_{32} = a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}$ Einsetzen liefert: $\begin{align} \det \mathbf{A} &= (-1)\cdot a_{12}\cdot(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})\, +\, (+1)\cdot a_{22}\cdot (a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})\, +\, (-1)\cdot a_{32}\cdot (a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\\ &= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} \end{align}$ Dieses Ergebnis bestätigt damit die Regel von Sarrus.