Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme

To-do:

Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)

Bevor wir die Zylinder- und Kugelkoordinaten behandeln, sollen einige allgemein gültige Zusammenhänge für krummlinige orthogonale Koordinatensysteme $\mathrm{u}_1$ , $\mathrm{u}_2$ , $\mathrm{u}_3$ abgeleitet werden. Diese sind durch die im Allgemeinen bekannten Definitionsgleichungen:

\mathrm{x} = \mathrm{x} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right), \mathrm{y} = \mathrm{y} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right), \mathrm{z} = \mathrm{z} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)

Formel (1)

mit den kartesischen Koordinaten verknüpft.

Abbildung 1: Krummlinige Koordinaten

Das in Abbildung 1 dargestellte Volumen wird durch die sechs beliebig geformten Koordinatenflächen begrenzt, auf denen jeweils eine der Koordinaten $\mathrm{u}_i$ mit $i = 1, 2, 3$ konstant ist. Die Einheitsvektoren $\vec{\textbf{e}}_i$ , die ??? und ??? erfüllen, zeigen in Richtung der Tangenten, die an die durch den Raumpunkt $\mathrm{P}(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_1)$ des Ortsvektors $\vec{\textbf{r}}$ verlaufenden Koordinaten $\mathrm{u}_i$ gelegt werden. Die Richtung dieser Tangenten und damit auch die Richtung der Einheitsvektoren ist durch die Änderung des Ortsvektors $\partial \vec{\textbf{r}} / \partial \mathrm{u}_i$ nach der jeweiligen Koordinate $\mathrm{u}_i$ gegeben (*). Normiert man diesen Ausdruck auf seinen Betrag $\left| \partial \vec{\textbf{r}} / \partial \mathrm{u}_i \right|$ , dann lässt sich folgende Darstellung für die Einheitsvektoren angeben:

\vec{\textbf{e}}_i = \frac{1}{\left|\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}\right|} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \text{mit}\ h_i = \left| \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right|

Formel (2)

(*) Unter dem Ausdruck $\partial \vec{\textbf{r}} / \partial \mathrm{u}_i$ wird die partielle Ableitung, d. h. die Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors $\vec{\textbf{r}} \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)$ nach $\mathrm{u}_1$ bzw. $\mathrm{u}_2$ bzw. $\mathrm{u}_3$ verstanden, wobei die jeweils anderen beiden Koordinaten konstant gehalten werden. Betrachten wir als Beispiel den Fall $i=2$ , dann gilt:

\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_2} = \lim_{\Delta \mathrm{u}_2 \to 0} \frac{\vec{\textbf{r}}(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2 + \Delta \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3) - \vec{\textbf{r}}(\mathrm{u}_1 , \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3)}{\Delta \mathrm{u}_2}

Entsprechend Formel (2) hängt also die Richtung der Einheitsvektoren im allgemeinen Fall von den Koordinaten $\left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)$ , d. h. von der Lage des Raumpunktes P ab. Die als metrische Faktoren bezeichneten Werte $h_i \left( \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{u}_3 \right)$ findet man mithilfe der Definitionsgleichungen Formel (1) aus:

h_i^2 = \left( \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 = \left( \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{u}_i} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{u}_i} + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2

beziehungsweise:

h_i = \sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{u}_i} \right)^2 }

Formel (3)

Bildet man nun das totale Differential $\mathrm{d}\vec{\textbf{r}}$ des Ortsvektors $\vec{\textbf{r}}$ , das einer Änderung der Koordinatenwerte $\mathrm{u}_1$ , $\mathrm{u}_2$ , $\mathrm{u}_3$ um $\mathrm{d}\mathrm{u}_1$ , $\mathrm{d}\mathrm{u}_2$ , $\mathrm{d}\mathrm{u}_3$ entspricht, dann erhält man unter Einbeziehung der Formel (2) das folgende Ergebnis: