Kugelkoordinaten
Bei den Kugelkoordinaten beschreibt die Koordinate den Abstand eines Punktes vom Ursprung. Die Koordinatenfläche entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich . Der positiven z-Achse ist der Wert zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert . Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator . Die Koordinate ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
Ein Punkt auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate und den Abstand von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen in der Form:
verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:
Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit
und für das Volumenelement:
Mit dem Ortsvektor
Übersicht
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta |
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta |
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi |
Beispiel: Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler: Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt: Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten: |
Multimediale Lehrmaterialien
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich) |
Hilfreiche Links
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.) |
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