Zylinderkoordinaten

Ein Sonderfall der krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme, der häufig benutzt wird, sind die Zylinderkoordinaten:

Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachste mit ihren Radius $\rho$ und dem Winkel $\varphi$ beschreiben ( siehe Abbildung). Eben diese Koordinaten werden bei den ebenen Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten verwendet, dabei wird der Winkel $\varphi$ definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Insbesondere für Probleme mit konzentrischen oder radialen Anordnungen werden dadurch die Betrachtung einfacher zu begreifen und zu berechnen. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können, wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesischen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht auch der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:

$0\leq \rho\leq\infty$

$0\leq \varphi\leq 2\pi$

$-\infty\leq z\leq\infty$

Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Betrachtet man die Abbildung, kann man mithilfe der Trigonometrischen Funktionen die Transformationsgleichung berechnen:

$\begin{align} \mathrm{x} &= \rho \cos \varphi& && 0 &\leq \rho < \infty\\ \mathrm{y} &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi\\ \mathrm{z} &= \mathrm{z}& && & \end{align}$

Berechnet man die Transformationsgleichung vom Zylinderkoordinatensystem ins kartesische Koordinatensystem folgt:

$\begin{align} \rho &=\sqrt{x^2+y^2}\\ \varphi &=\arctan{\frac{y}{x}}\\ z &=z \end{align}$

Die Metrikkoeffizienten oder metrischen Faktoren berechnen sich durch folgende Gleichung:

$h_i = \left| \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right|$

Sie werden benötigt, damit die Einheitsvektoren in das jeweilige System transformiert werden können. Da die Gleichung sehr unhandlich wirkt ist die Rechnung hier durch ein Beispiel der Koordinate $\varphi$ aufgeschlüsselt. Dazu müssen für die Variablen x,y,z die Transformationsgleichungen eingesetzt und nach der Koordinate differenziert werden. Anschließend wird der Betrag gebildet:

$h_\varphi = \sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2} =\sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{\rho \cos \varphi}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{\rho \sin \varphi}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2} =\sqrt{(-\rho\sin\varphi)^2+(\rho\cos\varphi)^2} =\sqrt{\rho^2(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}=\rho$

Die beiden anderem Metrischen Koeffizienten ergeben sich zu:

$h_\rho = h_\mathrm{z} = 1$

Hat man nun die metrischen Faktoren kann man die Einheitsvektoren des Zylinderkoordinatensystems bestimmen:

$\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \end{align}$

Zwei weitere wichtige Parameter im Zylinderkoordinatensystem sind das vektorielle Wegelement :

$\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}\mathrm{z}$

und das Volumenelement:

$\mathrm{d}V = \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\mathrm{z}$

Beispiel: Beschreibung des Ortsvektors in Zylinderkoordinaten Gegeben sei der Ortsvektor $\vec{\mathbf{r}}$ in kartesischen Koordinaten. $\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z$ Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken: $\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}$ Ein Vergleich der Beziehungen zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt: $\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \rho + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}$

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.) http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten

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