Zylinderkoordinaten

Um Zylinderkoordinaten zu verstehen, hilft es sich einen Zylinder vorzustellen und ihn in seine Bestandteile, also Deckel und Mantelflächen zu unterteilen. Die Deckelfläche lässt sich dabei am einfachsten mit ihren Radius $\rho$ und dem Winkel $\varphi$ beschreiben, dabei wird der Winkel $\varphi$ definitionsgemäß beginnend bei der positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt. Um auch noch die Höhe berücksichtigen zu können wählt man die z-Koordinate, die schon aus den kartesichen Koordinaten bekannt ist. Diese entspricht der Länge der Mantelfläche des Zylinders. Mit diesen drei Koordinaten lässt sich jeder Raumpunkt erfassen. Dabei können Sie folgende Werte annehmen:

$0\leq \rho\leq\infty$

$0\leq \varphi\leq 2\pi$

$-\infty\leq z\leq\infty$

Abbildung 1: Zylinderkoordinaten

Die Definitionsgleichungen für die Koordinaten des Kreiszylinders $\left( \mathrm{u}_1 = \rho, \mathrm{u}_2 = \varphi, \mathrm{u}_3 = \mathrm{z} \right)$ können unmittelbar der unteren Abbildung entnommen werden:

$\begin{align} \mathrm{x} &= \rho \cos \varphi& && 0 &\leq \rho < \infty\\ \mathrm{y} &= \rho \sin \varphi& &\text{mit}& 0 &\leq \varphi < 2 \pi\\ \mathrm{z} &= \mathrm{z}& && & \end{align}$

Formel (1)

Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen Formel (1) in die berechnet werden:

$\begin{align} h_1 &= h_\rho = 1\\ h_2 &= h_\varphi = \rho\\ h_3 &= h_\mathrm{z} = 1 \end{align}$

Formel (2)

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit :

$\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \mathrm{d}\rho + \vec{\textbf{e}}_\varphi \rho \mathrm{d}\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{d}\mathrm{z}$

Für das Volumenelement folgt mit :

$\mathrm{d}V = \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\mathrm{z}$

Mit dem Ortsvektor ()

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \rho \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \rho \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}$

Formel (3)

und den metrischen Faktoren (Formel (2)) werden aus die Einheitsvektoren bestimmt:

$\begin{align} \vec{\textbf{e}}_1 &= \vec{\textbf{e}}_\rho = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \rho} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_2 &= \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\rho \partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin \varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos \varphi\\ \vec{\textbf{e}}_3 &= \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \end{align}$

Formel (4)

Ein Vergleich der Beziehungen Formel (3) und Formel (4) zeigt, dass der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten die nachstehende Form annimmt:

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\rho \rho + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \mathrm{z}$

Beispiel: Beschreibung des Ortsvektors in Zylinderkoordinaten Gegeben sei der Ortsvektor $\vec{\mathbf{r}}$ in kartesischen Koordinaten. $\vec{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{e}}x\cdot x+\vec{\mathbf{e}}y\cdot y+\vec{\mathbf{e}}z\cdot z$ Nun soll man diesen Vektor in zylindrischen Koordinaten ausdrücken:

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringCylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/ Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl./ free CDF-Player erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/cylindrical/cylindrical.html Applet: Punkt in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

http://scientificsentence.net/Electromagnetics/index.php?key=yes&Integer=Cylindrical Bild und Erläuterung zu den Einheitsvektoren im Zylinderkoordinatensystem (engl.) http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/MA2251C99/images/cylndrcl.gif Bild zu infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinatensystem http://lh5.ggpht.com/_XvrTyMj5b-k/SaH0PTc-qWI/AAAAAAAAFnM/YYo0W-gT_5I/controlvolumecylindricalcontinuity5.png Bild zu einem infinitesimalen Volumenelement in Zylinderkoordinaten

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