Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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Im Rahmen der [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]] wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:
 
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Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von <math>n</math> unbekannten Größen auch (mindestens) <math>n</math> [[linear unabhängige]] Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> häufig um eine ''quadratische'' Matrix. In diesem Fall gilt <math>m=n</math> und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (<math>n\times n</math>-Matrix).
 
Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von <math>n</math> unbekannten Größen auch (mindestens) <math>n</math> [[linear unabhängige]] Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> häufig um eine ''quadratische'' Matrix. In diesem Fall gilt <math>m=n</math> und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (<math>n\times n</math>-Matrix).
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==Lösung linearer Gleichungssysteme==
 
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Zur Lösung linearer Gleichungssysteme, also zur Bestimmung der Größen <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> beziehungsweise des Vektors <math>\vec{\textbf{x}}</math>, existiert eine Vielzahl von Verfahren. Handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> um eine quadratische Matrix, so kann beispielsweise die [[Cramersche Regel]] verwendet werden. Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Gleichung mit ausschließlich skalaren Größen <math>A</math>, <math>x</math> und <math>b</math>:
 
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:<math>
 
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Ax = b
 
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</math>
 
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Um in diesem Fall die Unbekannte <math>x</math> zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit <math>1/A=A^{-1}</math>:
 
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:<math>
 
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Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}\cdot A x = A^{-1}\cdot b\quad\Rightarrow\quad x = A^{-1}\cdot b
 
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</math>
 
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Inverse. Determinante. Multiplikation. Idee: Einfache Rechenoperationen mit Matrizen. Anzahl der Lösungen.
 
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To-Do:
 
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* Bild zur Indizierung oben rechts einfügen
 
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* Zusammenhang zur Multiplikation von Matrizen
 
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* Hinweis zur Anzahl der Zeilen und Spalten
 
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* Übergang zu quadratischen Matrizen
 
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* Lösung solcher Gleichungssysteme und entsprechende Bedingungen
 
  
 
[[Kategorie:Artikel]]
 
[[Kategorie:Artikel]]
 
[[Kategorie:Feedback]]
 
[[Kategorie:Feedback]]

Aktuelle Version vom 14. Januar 2015, 20:57 Uhr

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:

\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}

Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:

\textbf{A}: Koeffizientenmatrix
\vec{\textbf{x}}: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
\vec{\textbf{b}}: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen x_1, x_2, \dots, x_n vor:

Gleichungen eines allgemeinen linearen Gleichungssystems

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

Allgemeines lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise

Die Elemente (Einträge) der m\times n-Matrix \textbf{A} werden also mit a_{ij} bezeichnet, wobei i die Zeile und j die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).

Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von n unbekannten Größen auch (mindestens) n linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei \textbf{A} häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt m=n und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (n\times n-Matrix).

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