Einfache Rechenoperationen mit Matrizen

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Bei der Rechnung mit Matrizen gelten häufig die Gesetzmäßigkeiten aus der Vektorrechnung. Dies ist plausibel, da ein Vektor auch als Spezialfall einer Matrix mit nur einer Spalte aufgefasst werden kann. Lediglich bei der Multiplikation von Matrizen unterscheidet sich das Vorgehen.

Inhaltsverzeichnis

1 Addition und Subtraktion von Matrizen
2 Multiplikation von Matrizen mit einem Skalar
3 Division von Matrizen
4 Multiplikation von Matrizen
5 Rechengesetze

Addition und Subtraktion von Matrizen

Sollen zwei Matrizen addiert oder subtrahiert werden, so müssen diese die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben. Formal formuliert können also nur dann zwei $m\times n$ Matrizen addiert oder subtrahiert werden, wenn $m$ und $n$ jeweils gleich sind. Die Berechnung der Summe beziehungsweise Differenz erfolgt durch die Addition beziehungsweise Subtraktion der jeweils zusammengehörigen Einträge.

Beispiel für zwei $3\times 3$ -Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ :

\mathbf{A}\pm\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & b_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & b_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & b_{33}+b_{33} \end{bmatrix}

Die Reihenfolge, in der die Rechnung ausgeführt wird, spielt damit keine Rolle. Damit gilt das Kommutativgesetz, das heißt $\mathbf{A}\pm\mathbf{B} = \mathbf{B}\pm\mathbf{A}$ .

Multiplikation von Matrizen mit einem Skalar

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert.

Beispiel für eine $3\times 3$ -Matrix $\mathbf{A}$ und einem Skalar $\lambda$ :

\lambda\cdot\mathbf{A} = \lambda \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \lambda a_{23}\\ \lambda a_{31} & \lambda a_{32} & \lambda a_{33} \end{bmatrix}

Division von Matrizen

Ähnlich wie bei der Vektorrechnung ist die Division von Matrizen nicht definiert. Jedoch existiert der Begriff der Inversen einer Matrix, mit dessen Hilfe eine Division auf eine Multiplikation zurückgeführt werden kann.

Multiplikation von Matrizen

Zwei Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt. Handelt es sich um eine $m\times n$ -Matrix $\mathbf{A}$ und eine $i\times j$ -Matrix $\mathbf{B}$ , so liefert das Produkt $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$ dieser beiden Matrizen eine $m\times j$ -Matrix (also eine Matrix mit $m$ Zeilen und $j$ Spalten).

Eine übersichtliche Möglichkeit zur Matrizenmultiplikation ist die Anwendung des Falkschen Schemas. Zur Berechnung des Produkts $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$ notiert man zunächst die Matrix $\mathbf{A}$ und rechts darüber die Matrix $\mathbf{B}$ . Zur Bestimmung eines Eintrags der resultierenden Matrix bildet man dann das Skalarprodukt aus dem kreuzenden Zeilenvektor von $\mathbf{A}$ und dem Spaltenvektor von $\mathbf{B}$ .

Betrachtet werden nun die folgenden beiden Matrizen:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix},\quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}

Damit ergibt sich das folgende Falksche Schema:

Das Element $c_{22}$ der resultierenden Matrix ergibt sich damit wie folgt (Skalarprodukt):

c_{22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32}

Die weiteren Elemente der resultierenden Matrix lassen sich auf die gleiche Weise bestimmen. Es gilt zu beachten, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\neq\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$ .