Selbsttest:Skalarprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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{'''Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math>?'''
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{Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math>?
 
 
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||Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein ''Skalar'', daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:<math>\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} =  a b \cos \alpha</math>. Der Winkel beträgt hier 90° daher wird der Kosinus zu 0. Weitere Erklärung siehe [[Skalarprodukt]].
  
  
  
  
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{Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math>?
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{'''Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{\mathbf{a}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math>?'''
 
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||Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein ''Skalar'', daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:<math>\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} =  a b \cos \alpha</math>. Der Winkel beträgt hier 180° daher wird der Kosinus zu -1. Weitere Erklärung siehe [[Skalarprodukt]].
  
  
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{ Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:
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<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3  \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6  \\ 4 \end{pmatrix}=</math>{ 32 }
 
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{ Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:
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{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:'''
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2  \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1  \\ -6 \end{pmatrix}=</math>{ -20 }
 
<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2  \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1  \\ -6 \end{pmatrix}=</math>{ -20 }
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{ Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:
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{'''Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:'''
 
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<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1  \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math> { 1 }
 
<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1  \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=</math> { 1 }
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{Bitte fügen Sie folgende Wörter ein. Achten Sie dabei auf Groß- und Kleinschreibung:
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Das Skalarprodukt entspricht der { Fläche } des Rechtecks, dass durch die { Seitenlängen } <math>b</math> und <math>b\cos\alpha</math> aufgespannt wird.
 
Das Skalarprodukt entspricht der { Fläche } des Rechtecks, dass durch die { Seitenlängen } <math>b</math> und <math>b\cos\alpha</math> aufgespannt wird.
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Ebenso kann der Vektor <math>\vec{\mathbf{b}}</math> auf die { Richtung } des Vektors <math>\vec{mathbf{a}}</math> projeziert werden. Der Flächeninhalt bleibt dabei gleich, aber es ändert sich das { Seitenverhältnis }.
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Ebenso kann der Vektor <math>\vec{\mathbf{b}}</math> auf die { Richtung } des Vektors <math>\vec{\mathbf{a}}</math> projeziert werden. Der Flächeninhalt bleibt dabei gleich, aber es ändert sich das { Seitenverhältnis }.
 
Beim Skalarprodukt betrachtet man nur den von beiden Vektoren eingeschlossenen { Winkel }, damit der Kosinus eindeutig ist (<math>\alpha</math> liegt zwischen 0° und 180°).  
 
Beim Skalarprodukt betrachtet man nur den von beiden Vektoren eingeschlossenen { Winkel }, damit der Kosinus eindeutig ist (<math>\alpha</math> liegt zwischen 0° und 180°).  
  
 
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[[Kategorie:Selbsttest]]

Aktuelle Version vom 14. Januar 2015, 21:06 Uhr

Skalarprodukt

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1. Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren \vec{\mathbf{a}} und \vec{\mathbf{b}}?

Vektorrechnung aufgabe10.1.svg


\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}
1,5
15
→Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar, daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos \alpha. Der Winkel beträgt hier 0° daher wird der Kosinus zu 1. Weitere Erklärung siehe Skalarprodukt.

2. Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren \vec{\mathbf{a}} und \vec{\mathbf{b}}?

Vektorrechnung aufgabe10.2.svg


\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}
15
0
→Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar, daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos \alpha. Der Winkel beträgt hier 90° daher wird der Kosinus zu 0. Weitere Erklärung siehe Skalarprodukt.

3. Welchen Wert ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren \vec{\mathbf{a}} und \vec{\mathbf{b}}?

Vektorrechnung aufgabe10.3.svg


\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}
-15
15
→Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar, daher fällt der Vektor als Lösung heraus. Das Skalarprodukt lässt sich hier im einfachsten Fall über den eingeschlossenen Winkel bestimmen:\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a b \cos \alpha. Der Winkel beträgt hier 180° daher wird der Kosinus zu -1. Weitere Erklärung siehe Skalarprodukt.

4. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}=
→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Skalarprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:\vec{\mathbf{a}}\cdot\vec{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot \vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha .

5. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=
→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Skalarprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:\vec{\mathbf{a}}\cdot\vec{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot \vec{\mathbf{e}}_{b} = ab \cos \alpha .

6. Bitte lösen Sie folgende Aufgabe:

\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=
→ Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Skalarprodukts. Entweder berechnet man es mit Hilfe der Komponentendarstellung:\vec{\mathbf{a}}\cdot\vec{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 oder man nutzt den eingeschlossenen Winkel: \vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} = a \vec{\mathbf{e}}_{a} \cdot \vec{\mathbf{e}}_{b} = a b \cos \alpha .

7. Lückentext:

Bitte fügen Sie folgende Wörter ein. Achten Sie dabei auf Groß- und Kleinschreibung:

Vektorrechnung Skalarprodukt Aufgabe3.svg

Winkel, Seitenlängen, Fläche, Seitenverhältnis, Richtung

Das Skalarprodukt entspricht der des Rechtecks, dass durch die b und b\cos\alpha aufgespannt wird.
Ebenso kann der Vektor \vec{\mathbf{b}} auf die des Vektors \vec{\mathbf{a}} projeziert werden. Der Flächeninhalt bleibt dabei gleich, aber es ändert sich das .
Beim Skalarprodukt betrachtet man nur den von beiden Vektoren eingeschlossenen , damit der Kosinus eindeutig ist (\alpha liegt zwischen 0° und 180°).

Punkte: 0 / 0
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