Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. Januar 2015, 20:57 Uhr

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:

\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}

Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:

\textbf{A}

: Koeffizientenmatrix

\vec{\textbf{x}}

: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)

\vec{\textbf{b}}

: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus $m$ linearen Gleichungen mit $n$ unbekannten Variablen $x_1, x_2, \dots, x_n$ vor:

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

Die Elemente (Einträge) der $m\times n$ -Matrix $\textbf{A}$ werden also mit $a_{ij}$ bezeichnet, wobei $i$ die Zeile und $j$ die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).

Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von $n$ unbekannten Größen auch (mindestens) $n$ linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei $\textbf{A}$ häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt $m=n$ und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch ( $n\times n$ -Matrix).

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 Im Rahmen der [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]] wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:
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 Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von <math>n</math> unbekannten Größen auch (mindestens) <math>n</math> [[linear unabhängige]] Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> häufig um eine ''quadratische'' Matrix. In diesem Fall gilt <math>m=n</math> und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (<math>n\times n</math>-Matrix).
-==Lösung linearer Gleichungssysteme==
-Zur Lösung linearer Gleichungssysteme, also zur Bestimmung der Größen <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> beziehungsweise des Vektors <math>\vec{\textbf{x}}</math>, existiert eine Vielzahl von Verfahren. Handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> um eine quadratische Matrix, so kann beispielsweise die [[Cramersche Regel]] verwendet werden. Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Gleichung mit ausschließlich skalaren Größen <math>A</math>, <math>x</math> und <math>b</math>:
-:<math>
-Ax = b
-</math>
-Um in diesem Fall die Unbekannte <math>x</math> zu bestimmen, genügt eine Multiplikation der Gleichung mit <math>1/A=A^{-1}</math>:
-:<math>
-Ax = b\,|\cdot A^{-1}\quad\Rightarrow\quad \underbrace{A^{-1}\cdot A}_{1} x = A^{-1}\cdot b\quad\Rightarrow\quad x = A^{-1}\cdot b
-</math>
-Diese Vorgehensweise lässt sich auch auf lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise übertragen. In diesem Fall benötigt man die sogenannte '''Inverse''' <math>\mathbf{A}^{-1}</math> zur Matrix <math>\mathbf{A}</math>. Das Produkt einer Matrix und der zugehörigen Inversen liefert dann die '''Einheitsmatrix''', die in der Regel mit <math>\mathbf{I}</math> oder <math>\mathbf{E}</math> bezeichnet wird. Bei der Einheitsmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix, bei der die Hauptdiagonale ausschließlich aus Einsen besteht, alle anderen Elemente sind 0 (vgl. Beispiel unten). Somit folgt:
-:<math>
-\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}= \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}
-</math>
-Es gilt zu beachten, dass nicht zu jeder Matrix eine Inverse existiert. Damit folgt auch, dass nicht jedes lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Es lässt sich zeigen, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix <math>\textbf{A}</math> ungleich Null ist (es muss also <math>\det\textbf{A} \neq 0</math> gelten, ansonsten ist das Gleichungssystem über- oder unterbestimmt). Genau dann ist die Matrix <math>\textbf{A}</math> auch invertierbar und genau dann sind auch die Gleichungen des linearen Gleichungssystems linear unabhängig. Es gilt zu beachten, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, das heißt die Reihenfolge der Faktoren hat einen Einfluss auf das Ergebnis. Daher wurde bei dem skalaren Beispiel schon darauf geachtet, dass die Gleichung auf beiden Seiten „von links“ mit <math>\mathbf{A}^{-1}</math> multipliziert wird (eine beidseitige Multiplikation „von rechts“ wäre ebenfalls möglich).
 [[Kategorie:Artikel]]
 [[Kategorie:Feedback]]

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