Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Indizes-matrix.png|130px|thumb|right|Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen]]
Im Rahmen der [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]] wurde bereits beschrieben, dass diese wie nachfolgend angegeben notiert werden können:
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Im Rahmen der [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]] wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:
 
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\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}
 
\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}
 
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Dabei werden allgemein die folgenden Bezeichnungen verwendet:
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Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:
 
:<math>\textbf{A}</math>: Koeffizientenmatrix
 
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:<math>\vec{\textbf{x}}</math>: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
 
:<math>\vec{\textbf{x}}</math>: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
 
:<math>\vec{\textbf{b}}</math>: Konstantenvektor oder „rechte Seite“
 
:<math>\vec{\textbf{b}}</math>: Konstantenvektor oder „rechte Seite“
Dabei handelt es sich lediglich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus <math>m</math> linearen Gleichungen mit <math>n</math> unbekannten Variablen <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> vor:
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Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus <math>m</math> linearen Gleichungen mit <math>n</math> unbekannten Variablen <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> vor:
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\begin{matrix}
 
\begin{matrix}
 
a_{11}x_1 +  a_{12}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n}x_n & = & b_1\\
 
a_{11}x_1 +  a_{12}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n}x_n & = & b_1\\
 
a_{21}x_1 +  a_{22}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n}x_n & = & b_2\\
 
a_{21}x_1 +  a_{22}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n}x_n & = & b_2\\
\vdots &&&\vdots&\\
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\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad&&\quad\vdots&&\vdots\\
 
a_{m1}x_1 +  a_{m2}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn}x_n & = & b_m\\
 
a_{m1}x_1 +  a_{m2}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn}x_n & = & b_m\\
 
\end{matrix}
 
\end{matrix}
 
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[[Datei:Lgs-allgemein-gleichungen.png|Gleichungen eines allgemeinen linearen Gleichungssystems]]
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In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:
 
In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:
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\begin{bmatrix}
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x_1\\
 
x_2\\
 
x_2\\
\dots\\
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\vdots\\
 
x_n
 
x_n
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=
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\begin{bmatrix}
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b_1\\
 +
b_2\\
 +
\vdots\\
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b_m
 
\end{bmatrix}
 
\end{bmatrix}
 
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[[Datei:Lgs-allgemein-matrixschreibweise.png|Allgemeines lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise]]
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Die Elemente (Einträge) der <math>m\times n</math>-Matrix <math>\textbf{A}</math> werden also mit <math>a_{ij}</math> bezeichnet, wobei <math>i</math> die Zeile und <math>j</math> die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).
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Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von <math>n</math> unbekannten Größen auch (mindestens) <math>n</math> [[linear unabhängige]] Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> häufig um eine ''quadratische'' Matrix. In diesem Fall gilt <math>m=n</math> und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (<math>n\times n</math>-Matrix).
  
 
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Aktuelle Version vom 14. Januar 2015, 20:57 Uhr

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:


\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}

Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:

\textbf{A}: Koeffizientenmatrix
\vec{\textbf{x}}: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
\vec{\textbf{b}}: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen x_1, x_2, \dots, x_n vor:

Gleichungen eines allgemeinen linearen Gleichungssystems

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

Allgemeines lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise

Die Elemente (Einträge) der m\times n-Matrix \textbf{A} werden also mit a_{ij} bezeichnet, wobei i die Zeile und j die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).

Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von n unbekannten Größen auch (mindestens) n linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei \textbf{A} häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt m=n und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (n\times n-Matrix).