Allgemeine Formulierung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation|before=[[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht|Lineare Gleichungssysteme]]|next=[[Einfache Rechenoperationen mit Matrizen]]}}
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{{Navigation|before=[[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]]|overview=[[Lineare Gleichungssysteme:Übersicht]]|next=[[Multiplikation von Matrizen]]}}
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[[Datei:Indizes-matrix.png|130px|thumb|right|Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen]]
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===Koeffizientenmatrix===
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Im Rahmen der [[Einführung zu linearen Gleichungssystemen]] wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:
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:<math>
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Die Koeffizientenmatrix, in dem vorherigen Artikel auch Widerstands-, oder Leitwertmatrix genannt, enthält alle in den Maschen vorkommenden Widerstände oder Leitwerte. Sie ist aus m Zeilen und n Spalten aufgebaut ((m x n )-Matrix). Dabei hat sie immer folgende Form:
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\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}
−
 
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</math>
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:<math>\mathbf{A}=
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Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:
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\begin{pmatrix}
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:<math>\textbf{A}</math>: Koeffizientenmatrix
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a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
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:<math>\vec{\textbf{x}}</math>: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
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a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
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:<math>\vec{\textbf{b}}</math>: Konstantenvektor oder „rechte Seite“
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Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus <math>m</math> linearen Gleichungen mit <math>n</math> unbekannten Variablen <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> vor:
  
−
  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
+
<!--
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+
:<math>
−
 
+
\begin{matrix}
−
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n}x_n & = & b_1\\
−
 
+
a_{21}x_1 +  a_{22}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n}x_n & = & b_2\\
−
 
+
\vdots\quad\quad\quad\vdots\quad&&\quad\vdots&&\vdots\\
−
\end{pmatrix}
+
a_{m1}x_1 +  a_{m2}x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn}x_n & = & b_m\\
 +
\end{matrix}
 
</math>
 
</math>
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-->
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[[Datei:Lgs-allgemein-gleichungen.png|Gleichungen eines allgemeinen linearen Gleichungssystems]]
  
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Die Elemente der Matrix <math> a_{ij} </math> sollen hier nur rein reelwertig angenommen werden. Um nicht durcheinander zu kommen, ist die Reihenfolge des Indexes so festgelegt, dass  i der Zeilenindex und j der Spaltenindex ist.
+
In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:
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Hier werden nur quadratische Koeffizientenmatrizen angenommen, da sie zur Maschen-, oder Knotenanalyse verwendet werden können. Um die unbekannten Größen zu berechnen, brauchen wir genausoviele linear unbahängige Gleichungen wie Unbekannte, um das System lösen zu können. In solchen Fällen spricht man von einer eindeutig bestimmten Matrix. In anderen Fällen ist die Matrix überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt. Also, wenn die Zeilenanzahl größer ist, als die Spaltenanzahl. Die Matrix kann auch unterbestimmt sein, wenn es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt. Die Zeilenanzahl ist in diesen Fällen kleiner, als die Spaltenanzahl der Matrix.
 
−
 
 
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===Die Spaltenvektoren ===
 
−
 
−
Die Spaltenvektoren <math>\vec{\mathbf{x}}</math> und <math>\vec{\mathbf{b}}</math> entsprechen in den hier betrachteten Fällen immer Strömen und Spannungen. Sie haben folgende Form:
 
−
:<math>\vec{\mathbf{x}}=
 
−
\begin{pmatrix}
 
−
x_1\\
 
−
x_2\\
 
−
\ldots\\
 
−
x_n\end{pmatrix}
 
−
\quad
 
−
\vec{\mathbf{b}}=\begin{pmatrix}
 
−
b_1\\
 
−
b_2\\
 
−
 
 
  
−
\ldots\\
+
<!--
−
b_m
+
:<math>
−
\end{pmatrix}
+
\begin{bmatrix}
 +
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
 +
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
 +
\vdots & \vdots &      & \vdots\\
 +
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
 +
\end{bmatrix}
 +
\begin{bmatrix}
 +
x_1\\
 +
x_2\\
 +
\vdots\\
 +
x_n
 +
\end{bmatrix}
 +
=
 +
\begin{bmatrix}
 +
b_1\\
 +
b_2\\
 +
\vdots\\
 +
b_m
 +
\end{bmatrix}
 
</math>
 
</math>
 +
-->
 +
[[Datei:Lgs-allgemein-matrixschreibweise.png|Allgemeines lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise]]
  
 +
Die Elemente (Einträge) der <math>m\times n</math>-Matrix <math>\textbf{A}</math> werden also mit <math>a_{ij}</math> bezeichnet, wobei <math>i</math> die Zeile und <math>j</math> die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).
  
−
Dabei ist zu beachten das der <math>\vec{\mathbf{x}}</math>-Vektor immer die gesuchten Größen enthält.
+
Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von <math>n</math> unbekannten Größen auch (mindestens) <math>n</math> [[linear unabhängige]] Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei <math>\textbf{A}</math> häufig um eine ''quadratische'' Matrix. In diesem Fall gilt <math>m=n</math> und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (<math>n\times n</math>-Matrix).
  
 
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Aktuelle Version vom 14. Januar 2015, 20:57 Uhr

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Bedeutung der Indizes bei Matrixelementen

Im Rahmen der Einführung zu linearen Gleichungssystemen wurde bereits beschrieben, dass lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise allgemein wie folgt angegeben werden können:

\textbf{A} \cdot \vec{\textbf{x}} = \vec{\textbf{b}}

Dabei werden die nachstehenden Bezeichnungen verwendet:

\textbf{A}: Koeffizientenmatrix
\vec{\textbf{x}}: Lösungs- oder Variablenvektor (enthält die gesuchten Variablen)
\vec{\textbf{b}}: Konstantenvektor oder „rechte Seite“

Dabei handelt es sich um eine spezielle Schreibweise eines Systems (also mehrerer zusammengehöriger) linearer Gleichungen. Im allgemeinsten Fall liegt ein System aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen x_1, x_2, \dots, x_n vor:

Gleichungen eines allgemeinen linearen Gleichungssystems

In Matrixschreibweise kann das lineare Gleichungssystem wie folgt angegeben werden:

Allgemeines lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise

Die Elemente (Einträge) der m\times n-Matrix \textbf{A} werden also mit a_{ij} bezeichnet, wobei i die Zeile und j die Spalte des betrachteten Elements angibt (vgl. Abbildung).

Aufgrund der Tatsache, dass zur Bestimmung von n unbekannten Größen auch (mindestens) n linear unabhängige Gleichungen erforderlich sind, handelt es sich bei \textbf{A} häufig um eine quadratische Matrix. In diesem Fall gilt m=n und die Anzahl der Zeilen und Spalten ist folglich identisch (n\times n-Matrix).

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