Cramersche Regel: Unterschied zwischen den Versionen
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\textbf{W} \cdot \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0 | \textbf{W} \cdot \vec{\textbf{I}}_\nu = \vec{\textbf{U}}_0 | ||
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− | wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Komponenten des Vektors <math>\vec{\textbf{I}}_\nu</math>, nämlich die Ströme <math>I_3</math>, <math>I_5</math> und <math>I_6</math>, bestimmt werden. Der Strom <math>I_3</math> ist das ''erste'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch | + | wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Komponenten des Vektors <math>\vec{\textbf{I}}_\nu</math>, nämlich die Ströme <math>I_3</math>, <math>I_5</math> und <math>I_6</math>, bestimmt werden. Der Strom <math>I_3</math> ist das ''erste'' Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch die ''erste'' Spalte der Widerstandsmatrix <math>\textbf{W}</math> durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt: |
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Version vom 26. November 2012, 17:59 Uhr
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Die Cramersche Regel wird auch als Determinantenverfahren bezeichnet und stellt eine Methode (es existieren viele weitere) zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem , anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die Koeffizientenmatrix
quadratisch ist und ihre Determinante
nicht verschwindet (es muss also
gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.
Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:
Dabei bezeichnet die
-Matrix, bei der die
-te Spalte von
durch den Spaltenvektor
ersetzt wurde. Das Element (die Komponente)
des Vektors
ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von
und der Determinante von
.
Zur Veranschaulichung der Regel wird nachfolgend das Beispiel aus der Einführung aufgegriffen:
Dieses Gleichungssystem der Form
wurde im Rahmen einer Maschenanalyse ermittelt und nachfolgend sollen die Komponenten des Vektors , nämlich die Ströme
,
und
, bestimmt werden. Der Strom
ist das erste Element des Vektors mit den gesuchten Größen, somit ist auch die erste Spalte der Widerstandsmatrix
durch den Quellspannungsvektor zu ersetzen, so dass folgt:
Da es sich hier um -Matrizen handelt, können die Determinanten zum Beispiel schnell mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Für die Ströme
und
kann analog vorgegangen werden. Da der Strom
das zweite Element des Vektors mit den gesuchten Größen darstellt, muss auch die zweite Spalte der Widerstandsmatrix
durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden:
Der Strom ist das dritte Element des Vektors mit den gesuchten Größen, daher muss auch die dritte Spalte der Widerstandsmatrix
durch den Quellspannungsvektor ersetzt werden:
Die Determinanten der Matrizen sind in diesem Beispiel sehr lange Terme, daher werden diese hier nicht explizit berechnet. Grundsätzlich können jedoch alle weiteren Größen (also die Widerstände und Quellen) als bekannt vorausgesetzt werden, so dass die Angabe der obigen Gleichungen auch als kompakte Darstellungen der Endergebnisse aufgefasst werden können.
![]() Gegeben ist das nachfolgende lineare Gleichungssystem: Somit folgt für die gesuchten Größen: Das Ergebnis kann leicht durch Einsetzen überprüft werden. |