Cramersche Regel: Unterschied zwischen den Versionen
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Dabei bezeichnet <math>(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i</math> die <math>n \times n</math>-Matrix, bei der die <math>i</math>-te Spalte von <math>\textbf{A}</math> durch den Spaltenvektor <math>\vec{\textbf{b}}</math> ersetzt wurde. Das Element (die Komponente) <math>x_i</math> des Vektors <math>\vec{\textbf{x}}</math> ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von <math>(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i</math> und der Determinante von <math>\textbf{A}</math>. | Dabei bezeichnet <math>(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i</math> die <math>n \times n</math>-Matrix, bei der die <math>i</math>-te Spalte von <math>\textbf{A}</math> durch den Spaltenvektor <math>\vec{\textbf{b}}</math> ersetzt wurde. Das Element (die Komponente) <math>x_i</math> des Vektors <math>\vec{\textbf{x}}</math> ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von <math>(\textbf{A},\vec{\textbf{b}})_i</math> und der Determinante von <math>\textbf{A}</math>. | ||
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Version vom 26. November 2012, 15:58 Uhr
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Die Cramersche Regel wird auch als Determinantenverfahren bezeichnet und stellt eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar. Die nachfolgenden Ausführungen beziehen sich zunächst auf ein allgemeines lineares Gleichungssystem , anschließend wird ein konkretes Beispiel betrachtet. Voraussetzung für die Anwendung des Verfahrens ist, dass die Koeffizientenmatrix
quadratisch ist und ihre Determinante
nicht verschwindet (es muss also
gelten). Solche Gleichungssysteme ergeben sich beispielsweise im Rahmen einer Knoten- oder Maschenanalyse.
Die Cramersche Regel lautet dann wie folgt:
Dabei bezeichnet die
-Matrix, bei der die
-te Spalte von
durch den Spaltenvektor
ersetzt wurde. Das Element (die Komponente)
des Vektors
ergibt sich dann aus dem Quotienten der Determinante von
und der Determinante von
.
Nachfolgend wird wieder das Beispiel aus der Einführung betrachtet: