Orthogonale Koordinatensysteme:Übersicht: Unterschied zwischen den Versionen
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|style="background-color:#dde6f3;"|[[Kartesische Koordinaten]] | |style="background-color:#dde6f3;"|[[Kartesische Koordinaten]] | ||
− | Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein [[Rechtssystem]] bilden. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte. | + | Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> beschrieben. Die Koordinatenachsen sind geradlinig und orthogonal zueinander angeordnet, so dass diese ein [[Rechtssystem]] bilden. Der Schnittpunkt der Achsen wird Koordinatenursprung genannt. Die Einheitsvektoren zeigen immer in die Richtung der jeweils zugehörigen Achse und in Richtung wachsender Koordinatenwerte. |
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<math>P=P(x,y,z)</math><br> | <math>P=P(x,y,z)</math><br> | ||
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|style="background-color:#dde6f3"|[[Zylinderkoordinaten]] | |style="background-color:#dde6f3"|[[Zylinderkoordinaten]] | ||
− | Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten <math>\rho</math>, <math>\varphi</math> und <math>z</math> beschrieben. Dabei bleibt die <math>z</math>-Achse des kartesischen Koordinatensystems erhalten. <math>\rho</math> (je nach Quelle auch als <math>r</math> bezeichnet) gibt den Abstand zur <math>z</math>-Achse an und <math>\varphi</math> bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird <math>\varphi</math> ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\rho</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die <math>x</math>-<math>y</math>- bzw. <math>\rho</math>-<math>\varphi</math>-Ebene ohne die <math>z</math>-Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten. | + | Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>\rho</math>, <math>\varphi</math> und <math>z</math> beschrieben. Dabei bleibt die <math>z</math>-Achse des kartesischen Koordinatensystems erhalten. <math>\rho</math> (je nach Quelle auch als <math>r</math> bezeichnet) gibt den Abstand zur <math>z</math>-Achse an und <math>\varphi</math> bezeichnet den Winkel zum betrachteten Punkt. Dabei wird <math>\varphi</math> ausgehend von der positiven <math>x</math>-Achse in Richtung der positiven <math>y</math>-Achse gezählt. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_\rho</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> hängt von der Position des betrachteten Punktes ab. Betrachtet man ausschließlich die <math>x</math>-<math>y</math>- bzw. <math>\rho</math>-<math>\varphi</math>-Ebene ohne die <math>z</math>-Achse, so handelt es sich um Polarkoordinaten. |
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|style="background-color:#dde6f3"|[[Kugelkoordinaten]] | |style="background-color:#dde6f3"|[[Kugelkoordinaten]] | ||
− | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem betrachteten Punkt an. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem Winkel <math>\varphi</math> liegen auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem „Breitengrad“. | + | Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt <math>P</math> im Raum durch die drei Koordinaten <math>r</math>, <math>\varphi</math> und <math>\vartheta</math> beschrieben. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des betrachteten Punktes vom Koordinatenursprung. Der Winkel <math>\varphi</math> wird wie bei den Zylinderkoordinaten gezählt. <math>\vartheta</math> gibt den Winkel zwischen der positiven <math>z</math>-Achse und dem betrachteten Punkt an. Die Richtung der Einheitsvektoren <math>\vec{\textbf{e}}_r</math>, <math>\vec{\textbf{e}}_\varphi</math> und <math>\vec{\textbf{e}}_\vartheta</math> hängt stets von der Position des betrachteten Punktes ab. Alle Punkte mit identischem Winkel <math>\varphi</math> liegen auf einem „Längengrad” und Punkte mit identischem <math>\varphi</math> liegen auf einem „Breitengrad“. |
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<math>P=P(r,\varphi,\vartheta)</math> | <math>P=P(r,\varphi,\vartheta)</math> |
Version vom 3. August 2012, 15:35 Uhr
To-do:
- Einleitung hinzufügen
- Formulierungen überarbeiten (insbes. fett und diejenigen in der Tabelle)
- Hinweis, dass rho in ZK auch oft mit r bezeichnet wird
Kartesische Koordinaten
Bei dem kartesischen Koordinatensystem wird ein Punkt |
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Zylinderkoordinaten
Bei den Zylinderkoordinaten wird ein Punkt |
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Kugelkoordinaten
Bei dem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt |
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