Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme: Unterschied zwischen den Versionen
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Bevor wir die Zylinder- und Kugelkoordinaten behandeln, sollen einige allgemein gültige Zusammenhänge für krummlinige orthogonale Koordinatensysteme <math>\mathrm{u}_1</math>, <math>\mathrm{u}_2</math>, <math>\mathrm{u}_3</math> abgeleitet werden. Diese sind durch die im Allgemeinen bekannten Definitionsgleichungen: | Bevor wir die Zylinder- und Kugelkoordinaten behandeln, sollen einige allgemein gültige Zusammenhänge für krummlinige orthogonale Koordinatensysteme <math>\mathrm{u}_1</math>, <math>\mathrm{u}_2</math>, <math>\mathrm{u}_3</math> abgeleitet werden. Diese sind durch die im Allgemeinen bekannten Definitionsgleichungen: | ||
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Version vom 24. Juli 2012, 20:08 Uhr
To-do:
- Einleitung etwas plausibler (es gibt doch genügend Beispiele)
- Formulierungen überarbeiten (insbes. fett)
Bevor wir die Zylinder- und Kugelkoordinaten behandeln, sollen einige allgemein gültige Zusammenhänge für krummlinige orthogonale Koordinatensysteme ,
,
abgeleitet werden. Diese sind durch die im Allgemeinen bekannten Definitionsgleichungen:
Formel (1)
mit den kartesischen Koordinaten verknüpft.
Das in Abbildung 1 dargestellte Volumen wird durch die sechs beliebig geformten Koordinatenflächen begrenzt, auf denen jeweils eine der Koordinaten mit
konstant ist. Die Einheitsvektoren
, die ??? und ??? erfüllen, zeigen in Richtung der Tangenten, die an die durch den Raumpunkt
des Ortsvektors
verlaufenden Koordinaten
gelegt werden. Die Richtung dieser Tangenten und damit auch die Richtung der Einheitsvektoren ist durch die Änderung des Ortsvektors
nach der jeweiligen Koordinate
gegeben (*). Normiert man diesen Ausdruck auf seinen Betrag
, dann lässt sich folgende Darstellung für die Einheitsvektoren angeben:
Formel (2)
(*) Unter dem Ausdruck wird die partielle Ableitung, d. h. die Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors
nach
bzw.
bzw.
verstanden, wobei die jeweils anderen beiden Koordinaten konstant gehalten werden. Betrachten wir als Beispiel den Fall
, dann gilt:
Entsprechend Formel (2) hängt also die Richtung der Einheitsvektoren im allgemeinen Fall von den Koordinaten , d. h. von der Lage des Raumpunktes P ab. Die als metrische Faktoren bezeichneten Werte
findet man mithilfe der Definitionsgleichungen Formel (1) aus:
beziehungsweise:
Formel (3)
Bildet man nun das totale Differential des Ortsvektors
, das einer Änderung der Koordinatenwerte
,
,
um
,
,
entspricht, dann erhält man unter Einbeziehung der Formel (2) das folgende Ergebnis:
Formel (4)
Für den Betrag des vektoriellen Wegelementes gilt mit Gl. X (Verweis auf Vektoren) die Beziehung:
Formel (5) Das elementare Volumenelement erhält man durch Multiplikation der Seitenlängen gemäß Abbildung 2:
Formel (6)
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