Infinitesimale Weg-, Flächen-, und Volumenelemente: Unterschied zwischen den Versionen

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Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
 
Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:
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<math>\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r</math>
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Da aus der Abbildung folgt das für die Fläche eines infinitesimalen Stücks folgt, das nicht nur die Abhängigkeit in r-Richtung als auch die trigonometrischen Funktionen des Sinus und Cosinus folgen müssen.  
 
Da aus der Abbildung folgt das für die Fläche eines infinitesimalen Stücks folgt, das nicht nur die Abhängigkeit in r-Richtung als auch die trigonometrischen Funktionen des Sinus und Cosinus folgen müssen.  

Version vom 20. Mai 2012, 23:21 Uhr

Um über eine Fläche oder ein Volumen zu integrieren wird an das Integral ein Differential \mathrm{d}x,\mathrm{d}A oder \mathrm{d}V angehängt.

\int_A\vec{\mathbf{B}}\mathrm{d}\vec{\mathrm{A}}
\int_V \rho\mathrm{d}V

Die Bedeutung im eindimensionalen Fall ist noch recht simpel zu verstehen. Das Differential \mathrm{d}x, welches schon aus der Schule bekannt sein sollte, hat eine eher Symbolische Bedeutung für einen infinitesimal kleines Wegelement. Betrachtet man nun aber das Differential einer Fläche oder eines Volumen, so ist deren Bedeutung etwas schwieriger zu fassen und auch die Transformation in verschiedene Koordinatensysteme ist nicht unbedingt trivial. Diese Eigenschaften sollen im folgenden bestimmt und verglichen werden.

Der einfachste Fall sind die kartesischen Koordinaten. Betrachtet man hier eine Integrationsfläche die sich in x-und y-Richtung ausbreitet. Ein infinitesimales Teilstück dieser Fläche muss dem zufolge auch in beide Richtungen ausgedehnt sein, um die gesamte Fläche beschreiben zu können. Eine Integration über \mathrm{d}A, kann dann auch als Integration über beide Wegelemente \mathrm{d}x und \mathrm{d}y beschrieben werden, wie auch bei nicht infinitesimal kleinen Objekten die Fläche sich aus dem Produkt der Seiten bestimmt. Bei Volumen ist es im Grunde dasselbe, es muss nur auch noch die Ausdehnung in z berücksichtigt werden. Also ergibt sich ein infitesimales Volumenelement in kartesischen Koordinaten zu \mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

Schwieriger wird es, wenn die Wegelemente nicht mehr geradlinig verlaufen, dann müssen zur Berechnung der Flächen- und Volumenelemente so genannte Korrekturfaktoren eingeführt werden. Als Beispiel betrachtet man einen Kreisbogen in der x-y Ebene. Möchte man dort ein infinitesimales Flächenelement bestimmen so reicht es nicht aus einfach \mathrm{d}x\mathrm{d}y zu verwenden. Durch die Krümmung der Fläche würde der Fehler der dabei gemacht würde zu groß werden. Es bietet sich eine Koordinatentransformation in Polarkoordinaten an. Auf diese Weise kann entlang der Koordinatenlinien integriert werden, und man macht keinen Fehler. Zur Bestimmung des Korrekturfaktors betrachtet man nun ein Flächenelement des Kurvenstücks (vgl. Abbildung). Die Seitenlänge des Flächenelements entlang der r-Koordinate ist nicht gekrümmt und kann daher einfach als \mathrm{d}r angenommen werden. Betrachtet man jedoch die \varphi-Abhängigkeit so sieht man das die Krümmung des Kreisbogens nicht nur von \varphi abhängt sondern auch von dem Radius r. Dies entspricht einer Umfangberechnung des Kreises. Der Gesamtumfang eines Kreises hat 2\pi r betrachtet man allerdings nur ein kleines Teilstück des Kreises folgt: \mathrm{d}\varphi r. Aus dieser Überlegung folgt das das infinitesimale Flächenelement einer Kreisfläche sich zu \mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi.

Aus ähnlichen Betrachtungen ergeben sich die Volumenelemente, die in den Abbildungen zu sehen sind:

Beispiel: '

Um das Volumenelement anzuwenden betrachtet man eine Integration über ein Volumen hier in Kugelkoordinaten. Dazu sei hier eine homogene Raumladung \rho und eine Kugel mit Radius R gegeben. Führt man nun die Integration aus ergibt sich die Ladung:

Q=\int_V\rho\mathrm{d}V

Dazu muss über das gesamte Volumen der Kugel integriert werden. Die Grenzen sind also die maximalen Ausdehnungen der Kugelkoordinaten, insbesondere für die Winkel \theta und \varphi:

0\leq\varphi\leq 2\pi
0\leq\vartheta\leq\pi

Außerdem muss das Volumenelement in Kugelkoordinaten verwendet werden. Dies ergibt sich aus der Symmetrie, zu:

\mathrm{d}V=\tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}r

Da aus der Abbildung folgt das für die Fläche eines infinitesimalen Stücks folgt, das nicht nur die Abhängigkeit in r-Richtung als auch die trigonometrischen Funktionen des Sinus und Cosinus folgen müssen.

Eingesetzt folgt daraus:

Q=\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\rho\cdot \tilde r^2\sin(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta

Da \rho homogen ist, also unabhängig von dem Ort,kann man die Konstante vor das Integral ziehen und das Integral dann lösen:

Q=\rho\cdot \left.(-\cos(\vartheta))\right|_0^\pi\cdot\left.\varphi\right|_0^{2\pi}\cdot\left.\frac{\tilde r^3}{3}\right|_0^r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}

Dies enspricht abgesehen von der Konstante \rho dem Volumen einer Kugel, daher macht das eingesetzte Volumenelement einen Sinn, da mit den Grenzen der gesamten Kugel auch eine vollständige Kugel herauskommt.

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073451342/student_view0/chapter13/section6/cylindrical_coordinates__app_.html Darstellung von infinitesimalen Volumenelementen in Zylinderkoordinaten (engl.)

Hilfreiche Links

Link.png

http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewB.pdf Bebilderte Erklärung zu Kartesischen-, Kugel-, und Zylinderkoordinatensystemen und deren infinitesimalen Elementen (engl.)

Literatur

  • Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1: Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, 3. Auflage (Pearson Studium, 2011)
  • Kurt Meyberg and Peter Vachenauer, Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2001)
  • Klaus Jänich Mathematik 1 Geschrieben für Physiker,2. Auflage (Springer Berlin Heidelberg, 2005)
  • Wolfgang Pavel and Ralf Winkler, Mathematik für Naturwissenschaftler, 1. Auflage (Pearson Studium, 2007)
  • Dr. Hempel, "Mathematische Grundlagen", Linienintegral, Universität Magdeburg



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