Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet man elektrische Systeme, geht man im einfachsten Fall immer von Punktladungen aus. Nur ist in der Realität nichts nur ein einziger Punkt im Raum. Daher müssen wir auch mit ausgedehnten Flächen rechnen können. Viele dieser Oberflächen lassen sich dabei sehr gut als Kugel oder Hohlkugel beschreiben, wie zum Beispiel Elektroden oder das elektrische Feld der Erde. Um diese Modelle schnell und einfach auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das Kugelkoordinatensystem.
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Betrachtet man elektrische Systeme, geht man im einfachsten Fall immer von Punktladungen aus. Nur ist in der Realität nichts nur ein einziger Punkt im Raum. Daher müssen wir auch mit ausgedehnten Flächen rechnen können. Viele dieser Oberflächen lassen sich dabei sehr gut als Kugel oder Hohlkugel beschreiben, wie zum Beispiel Elektroden oder das elektrische Feld der Erde. Um diese Modelle schnell und einfach auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das '''Kugelkoordinatensystem'''.
  
 
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Kugelkoordinaten sind ähnlich wie Zylinderkoordinaten aufgebaut, nur das sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel <math>\vartheta</math> besitzen, der zwischen dem Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math>und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:<math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Die koordinate <math>\rho</math> gibt im Zylinderkoordinatensystem in der xy-Ebene den Abstand zum Ursprung an. Analog gibt die Koordinate <math>r</math> in Kugelkoordinaten den Abstand zum _Ursprung an, ist dabei aber nicht auf eine Ebene beschränkt. Betrachtet man die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht  diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
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Kugelkoordinaten sind ähnlich wie Zylinderkoordinaten aufgebaut, nur dass sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel <math>\vartheta</math> besitzen, der zwischen dem Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math>und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:<math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Die Koordinate <math>\rho</math> gibt im Zylinderkoordinatensystem in der xy-Ebene den Abstand zum Ursprung an. Analog gibt die Koordinate <math>r</math> in Kugelkoordinaten den Abstand zum Ursprung an, ist dabei aber nicht auf eine Ebene beschränkt. Betrachtet man die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht  diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
  
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Um die Transformationsgleichung aufzustellen, benutzt man wieder die Trigonometrischen Funktionen. Um die x-Koordinate darzustellen muss man zunächst den Punkt in die xy-Ebene transformieren. Dies geschieht in dem man die Gegenkathete des Dreiecks zwischen der z-Achse und dem Vektor zum gesuchten Punkt berechnet (siehe Abbildung).  
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Um die Transformationsgleichung aufzustellen, benutzt man wieder die Trigonometrischen Funktionen. Soll wieder die x-Koordinate bestimmt werden, muss zunächst den Punkt in die xy-Ebene transformiert werden. Dies geschieht, in dem man die Gegenkathete des Dreiecks zwischen der z-Achse und dem Vektor zum gesuchten Punkt berechnet (siehe Abbildung).  
  
 
:<math>\rho = r \sin \vartheta</math>
 
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Um nun die x-Koordinate zu bestimmen bildet man den Kosinus zwischen dem Abstand zum Ursprung <math>\rho</math> und der x-Achse.  
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Um nun die x-Koordinate zu berechnen, bildet man den Kosinus zwischen dem Abstand zum Ursprung <math>\rho</math> und der x-Achse.  
 
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Nun muss man beide Gleichungen in einander einsetzen und man erhält für x:
 
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Wie schon bei den Zylinderkoordinaten reichen die Transformationsgleichungen nicht aus, um das Koordinatensystem vollständig zu beschreiben. Dafür werden die Einheitsvektoren benötigt. Sie können über die selbe Gleichung bestimmt werden wie die Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten, da diese Gleichung für alle krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme gelten:
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Wie schon bei den Zylinderkoordinaten reichen die Transformationsgleichungen nicht aus, um das Koordinatensystem vollständig zu beschreiben. Dafür werden die Einheitsvektoren benötigt. Sie können über die selbe Gleichung bestimmt werden, wie die Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten, da diese Gleichung für alle krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme gelten:
 
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\vec{\textbf{e}}_i = \frac{1}{\left|\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}\right|} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}
 
\vec{\textbf{e}}_i = \frac{1}{\left|\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}\right|} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}
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Auch hier stellt diese komplizierte Form nichts weiter dar, als die Änderung des Ortsvektors (Der Vektor wird unten im Beispiel näher erläutert.) nach der jeweiligen Koordinate. Außerdem muss noch durch den Betrag dieser Änderung geteilt werden, damit der Einheitsvektor die Länge 1 hat. Dabei heißt der Faktor <math>h_i</math> '''metrischer Faktor''' oder '''Metrikkoeffizient'''.
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Auch hier stellt diese komplizierte Form nichts weiter dar, als die Änderung des Ortsvektors (Der Vektor wird unten im Beispiel näher erläutert.) nach der jeweiligen Koordinate. Außerdem muss durch den Betrag dieser Änderung geteilt werden, damit der Einheitsvektor die Länge 1 hat. Dabei heißt der Faktor <math>h_i</math> '''metrischer Faktor''' oder '''Metrikkoeffizient''' und bestimmt den Betrag der Änderung des Ortsvektors, um den Einheitsvektor auf die Länge 1 zu normieren.
 
Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
 
Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
 
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Version vom 16. April 2012, 14:22 Uhr

Betrachtet man elektrische Systeme, geht man im einfachsten Fall immer von Punktladungen aus. Nur ist in der Realität nichts nur ein einziger Punkt im Raum. Daher müssen wir auch mit ausgedehnten Flächen rechnen können. Viele dieser Oberflächen lassen sich dabei sehr gut als Kugel oder Hohlkugel beschreiben, wie zum Beispiel Elektroden oder das elektrische Feld der Erde. Um diese Modelle schnell und einfach auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das Kugelkoordinatensystem.

Abbildung 1: Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind ähnlich wie Zylinderkoordinaten aufgebaut, nur dass sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel \vartheta besitzen, der zwischen dem Punkt \mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:0 \leq \vartheta \leq \pi. Die Koordinate \rho gibt im Zylinderkoordinatensystem in der xy-Ebene den Abstand zum Ursprung an. Analog gibt die Koordinate r in Kugelkoordinaten den Abstand zum Ursprung an, ist dabei aber nicht auf eine Ebene beschränkt. Betrachtet man die Koordinatenfläche r = \mathrm{const.} entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Die Koordinate \varphi ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.

Um die Transformationsgleichung aufzustellen, benutzt man wieder die Trigonometrischen Funktionen. Soll wieder die x-Koordinate bestimmt werden, muss zunächst den Punkt in die xy-Ebene transformiert werden. Dies geschieht, in dem man die Gegenkathete des Dreiecks zwischen der z-Achse und dem Vektor zum gesuchten Punkt berechnet (siehe Abbildung).

\rho = r \sin \vartheta

Um nun die x-Koordinate zu berechnen, bildet man den Kosinus zwischen dem Abstand zum Ursprung \rho und der x-Achse.

x=\rho\sin(\varphi)

Nun muss man beide Gleichungen in einander einsetzen und man erhält für x:

x=r\cos\varphi\sin\varphi

Analog dazu kann man auch die anderen beiden Koordinatentransformationen bestimmen, die z-Koordinate ist dabei direkt aus der Abbildung entnehmbar:

Transformationsgleichungen \begin{align} \mathrm{x} & = r \sin\vartheta \cos\varphi & && && && 0 &\leq r < \infty \end{align}
\begin{align} \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi & &\text{mit}& & 0 &\leq \vartheta \leq \pi \end{align}
\begin{align} \mathrm{z}& = r \cos \vartheta & && && && && && && 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}

Wie schon bei den Zylinderkoordinaten reichen die Transformationsgleichungen nicht aus, um das Koordinatensystem vollständig zu beschreiben. Dafür werden die Einheitsvektoren benötigt. Sie können über die selbe Gleichung bestimmt werden, wie die Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten, da diese Gleichung für alle krummlinigen orthogonalen Koordinatensysteme gelten:

\vec{\textbf{e}}_i = \frac{1}{\left|\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i}\right|} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \text{mit}\ h_i = \left| \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \mathrm{u}_i} \right|

Auch hier stellt diese komplizierte Form nichts weiter dar, als die Änderung des Ortsvektors (Der Vektor wird unten im Beispiel näher erläutert.) nach der jeweiligen Koordinate. Außerdem muss durch den Betrag dieser Änderung geteilt werden, damit der Einheitsvektor die Länge 1 hat. Dabei heißt der Faktor h_i metrischer Faktor oder Metrikkoeffizient und bestimmt den Betrag der Änderung des Ortsvektors, um den Einheitsvektor auf die Länge 1 zu normieren. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:

\begin{align} h_\varphi & = \sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2}\\ & =\sqrt{ \left( \frac{\partial \mathrm{r \cos \varphi\sin\vartheta}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{r \sin \varphi\sin\vartheta}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathrm{r\cos\vartheta}}{\partial \mathrm{\varphi}} \right)^2}\\ & =\sqrt{(-r\sin\varphi\sin\vartheta)^2+(r\cos\varphi\sin\vartheta)^2} =\sqrt{r^2\sin^2\vartheta\underbrace {(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}_{1}}=r\sin\vartheta \end{align}

Die anderen beiden metrischen Faktoren ergeben sich äquivalent: \begin{align} h_r & = 1\\ h_\vartheta & = r\\ \end{align}

Anschließend können mit obiger Gleichung, die analog zum ersten Schritt der gerade gezeigten Rechnung verläuft, die Einheitsvektoren berechnet werden:

Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta
\vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta
\vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi

Auch bei den Kugelkoordinaten kann ein vektorielles Wegelement bestimmt werden:

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

Ebenso wie das Volumenelement:

\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi



Beispiel: Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten

Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler:

Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z\\ & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta \end{align}

Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta)\\ & =\vec{\textbf{e}}_r r \end{align}

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

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