Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei den Kugelkoordinaten <math>\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)</math> beschreibt die Koordinate <math>r</math> den Abstand eines Punktes <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> vom Ursprung. Die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel <math>\vartheta</math> wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich <math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Der positiven z-Achse ist der Wert <math>\vartheta = 0</math> zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert <math>\vartheta = \pi</math>. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen <math>\theta</math> liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator <math>\vartheta = \pi/2</math>. Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
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Kugelkoordinaten sind ähnlich wie Zylinderkoordinaten aufgebaut, nur das sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel <math>\vartheta</math> besitzen, der zwischen dem Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math>und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:<math>0 \leq \vartheta \leq \pi</math>. Die koordinate <math>\rho</math> gibt im Zylinderkoordinatensystem in der xy-Ebene den Abstand zum Ursprung an. Analog gibt die Koordinate <math>r</math> in Kugelkoordinaten den Abstand zum _Ursprung an, ist dabei aber nicht auf eine Ebene beschränkt. Betrachtet man die Koordinatenfläche <math>r = \mathrm{const.}</math> entspricht  diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Die Koordinate <math>\varphi</math> ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
  
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Um die Transformationsgleichung aufzustellen, benutzt man wieder die Trigonometrischen Funktionen. Um die x-Koordinate darzustellen muss man zunächst den Punkt in die xy-Ebene transformieren. Dies geschieht in dem man die Gegenkathete des Dreiecks zwischen der z-Achse und dem Vektor zum gesuchten Punkt berechnet (siehe Abbildung). :<math>\rho = r \sin \vartheta</math>
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Um nun die x-Koordinate zu bestimmen bildet man den Kosinus zwischen dem Abstand zum Ursprung <math>\rho</math> und der x-Achse.
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Ein Punkt <math>\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)</math> auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate <math>\mathrm{z} = r \cos \vartheta</math> und den Abstand <math>\rho = r \sin \vartheta</math> von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen  in der Form:
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:<math>x=\rho\sin(\varphi)</math>
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Nun muss man beide Gleichungen in einander einsetzen und man erhält für x:
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:<math>x=r\cos\varphi\sin\varphi</math>
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Analog dazu kann man auch die anderen beiden Koordinatentransformationen bestimmen, und es ergibt sich:
  
 
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verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
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Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
  
 
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Version vom 13. April 2012, 13:05 Uhr

Betrachtet man elektrische Systeme, geht man im einfachsten Fall immer von Punktladungen aus. Nur ist in der Realität nichts nur ein einziger Punkt im Raum. Daher müssen wir auch mit ausgedehnten Flächen rechnen können. Viele dieser Oberflächen lassen sich dabei sehr gut als Kugel oder Hohlkugel beschreiben, wie zum Beispiel Elektroden oder das elektrische Feld der Erde. Um diese Modelle schnell und einfach auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das Kugelkoordinatensystem.

Abbildung 1: Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind ähnlich wie Zylinderkoordinaten aufgebaut, nur das sie anstelle der z-Koordinate einen weiteren Winkel \vartheta besitzen, der zwischen dem Punkt \mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)und der positiven z-Achse gemessen wird. Er kann folgende Werte annehmen:0 \leq \vartheta \leq \pi. Die koordinate \rho gibt im Zylinderkoordinatensystem in der xy-Ebene den Abstand zum Ursprung an. Analog gibt die Koordinate r in Kugelkoordinaten den Abstand zum _Ursprung an, ist dabei aber nicht auf eine Ebene beschränkt. Betrachtet man die Koordinatenfläche r = \mathrm{const.} entspricht diese einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche (vgl. Abbildung). Die Koordinate \varphi ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.

Um die Transformationsgleichung aufzustellen, benutzt man wieder die Trigonometrischen Funktionen. Um die x-Koordinate darzustellen muss man zunächst den Punkt in die xy-Ebene transformieren. Dies geschieht in dem man die Gegenkathete des Dreiecks zwischen der z-Achse und dem Vektor zum gesuchten Punkt berechnet (siehe Abbildung). :\rho = r \sin \vartheta Um nun die x-Koordinate zu bestimmen bildet man den Kosinus zwischen dem Abstand zum Ursprung \rho und der x-Achse.

x=\rho\sin(\varphi)

Nun muss man beide Gleichungen in einander einsetzen und man erhält für x:

x=r\cos\varphi\sin\varphi

Analog dazu kann man auch die anderen beiden Koordinatentransformationen bestimmen, und es ergibt sich:

Transformationsgleichungen \begin{align} \mathrm{x} & = r \sin\vartheta \cos\varphi & && && && 0 &\leq r < \infty \end{align}
\begin{align} \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi & &\text{mit}& & 0 &\leq \vartheta \leq \pi \end{align}
\begin{align} \mathrm{z}& = r \cos \vartheta & && && && && && && 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}

Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:

\begin{align} h_1 &= h_r = 1\\ h_2 &= h_\vartheta = r\\ h_3 &= h_\varphi = r \sin\vartheta \end{align}


und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:

Einheitsvektoren \vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta
\vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta
\vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

und für das Volumenelement:

\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi

Mit dem Ortsvektor

\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta


Beispiel: Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten

Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler:

Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z\\ & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta \end{align}

Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta)\\ & =\vec{\textbf{e}}_r r \end{align}

Multimediale Lehrmaterialien

Multimedia.png

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

Link.png

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

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