Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
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|style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align} | |style="background-color:#c9d7ec"| <math>\begin{align} | ||
\mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi & | \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi & | ||
− | &\text{mit} | + | &\text{mit}&& |
0 &\leq \vartheta \leq \pi | 0 &\leq \vartheta \leq \pi | ||
\end{align} | \end{align} |
Version vom 13. April 2012, 12:46 Uhr
Betrachtet man elektrische Systeme, geht man im einfachsten Fall immer von Punktladungen aus. Nur ist in der Realität nichts nur ein einziger Punkt im Raum. Daher müssen wir auch mit ausgedehnten Flächen rechnen können. Viele dieser Oberflächen lassen sich dabei sehr gut als Kugel oder Hohlkugel beschreiben, wie zum Beispiel Elektroden oder das elektrische Feld der Erde. Um diese Modelle schnell und einfach auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das Kugelkoordinatensystem.
Bei den Kugelkoordinaten beschreibt die Koordinate
den Abstand eines Punktes
vom Ursprung. Die Koordinatenfläche
entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel
wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich
. Der positiven z-Achse ist der Wert
zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert
. Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen
liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator
. Die Koordinate
ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.
Ein Punkt auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate
und den Abstand
von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen in der Form:
Transformationsgleichungen | ![]() |
![]() | |
![]() |
verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:
und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:
Einheitsvektoren | ![]() |
![]() | |
![]() |
Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit
und für das Volumenelement:
Mit dem Ortsvektor
![]() Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler: Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt: Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten: |
Multimediale Lehrmaterialien
http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich) http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.) http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich) |
Hilfreiche Links
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.) |
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