Kugelkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. April 2012, 12:44 Uhr

Betrachtet man elektrische Systeme, geht man im einfachsten Fall immer von Punktladungen aus. Nur ist in der Realität nichts nur ein einziger Punkt im Raum. Daher müssen wir auch mit ausgedehnten Flächen rechnen können. Viele dieser Oberflächen lassen sich dabei sehr gut als Kugel oder Hohlkugel beschreiben, wie zum Beispiel Elektroden oder das elektrische Feld der Erde. Um diese Modelle schnell und einfach auswerten zu können, wählt man ein Koordinatensystem, dass die Besonderheiten runder Anordnungen am besten beschreibt: das Kugelkoordinatensystem.

Abbildung 1: Kugelkoordinaten

Bei den Kugelkoordinaten $\left( \mathrm{u}_1 = r, \mathrm{u}_2 = \vartheta, \mathrm{u}_3 = \varphi \right)$ beschreibt die Koordinate $r$ den Abstand eines Punktes $\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)$ vom Ursprung. Die Koordinatenfläche $r = \mathrm{const.}$ entspricht einer konzentrisch um den Ursprung liegenden Kugelfläche. Der Winkel $\vartheta$ wird von der positiven z-Achse und dem Ursprung zum Punkt P zeigenden Ortsvektor eingeschlossen. Er wird definitionsgemäß beginnend bei der positiven z-Achse gezählt und durchläuft den Wertebereich $0 \leq \vartheta \leq \pi$ . Der positiven z-Achse ist der Wert $\vartheta = 0$ zugeordnet, der negativen z-Achse der Wert $\vartheta = \pi$ . Alle Punkte auf der Kugel mit gleichen $\theta$ liegen auf einem Breitenkreis, z. B. gilt für alle Punkte auf dem Äquator $\vartheta = \pi/2$ . Die Koordinate $\varphi$ ist identisch mit der entsprechenden Koordinate im Zylinderkoordinatensystem.

Ein Punkt $\mathrm{P}(r,\vartheta, \varphi)$ auf der Kugeloberfläche hat die z-Koordinate $\mathrm{z} = r \cos \vartheta$ und den Abstand $\rho = r \sin \vartheta$ von der z-Achse. Setzt man diesen Abstand , dann stellt man fest, dass die Kugelkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten über die Definitionsgleichungen in der Form:

Transformationsgleichungen	$\begin{align} \mathrm{x} & = r \sin\vartheta \cos\varphi & && && && 0 &\leq r < \infty \end{align}$
	$\begin{align} \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi& \text{mit}& 0 &\leq \vartheta \leq \pi \end{align}$
	$\begin{align} \mathrm{z}& = r \cos \vartheta & && && && && && && 0 &\leq \varphi < 2 \pi \end{align}$

verknüpft sind. Die metrischen Faktoren können durch Einsetzen der Definitionsgleichungen berechnet werden:

$\begin{align} h_1 &= h_r = 1\\ h_2 &= h_\vartheta = r\\ h_3 &= h_\varphi = r \sin\vartheta \end{align}$

und den metrischen Faktoren die Einheitsvektoren bestimmt:

Einheitsvektoren	$\vec{\textbf{e}}_1 = \vec{\textbf{e}}_r = \frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial r} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta$
	$\vec{\textbf{e}}_2 = \vec{\textbf{e}}_\vartheta = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \vartheta} =\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \cos\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\vartheta \sin\varphi - \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \sin\vartheta$
	$\vec{\textbf{e}}_3 = \vec{\textbf{e}}_\varphi = \frac{1}{r \sin\vartheta}\frac{\partial \vec{\textbf{r}}}{\partial \varphi} = -\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \cos\varphi$

Für das vektorielle Wegelement folgt unmittelbar mit

\mathrm{d}\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_r \mathrm{d}r + \vec{\textbf{e}}_\vartheta r \mathrm{d}\vartheta + \vec{\textbf{e}}_\varphi r \sin\vartheta \mathrm{d}\varphi

und für das Volumenelement:

\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta \mathrm{d}r \mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\varphi

Mit dem Ortsvektor

$\vec{\textbf{r}} = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta$

Beispiel: Berechnung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten

Bei den Zylinderkoordinaten wurde schon gezeigt, dass sich der Ortsvektor vereinfachter darstellen lässt. Berechnet man den Ortsvektor in Kugelkoordinaten wird die Darstellung noch simpler:

Zunächst wird die allgemeine Gleichung vom Ortsvektor benutzt und die obigen Transformationsgleichungen eingesetzt:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} x + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} y + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} z\\ & = \vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} r \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} r \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} r \cos\vartheta \end{align}

Durch hervorziehen des Faktors r und vergleich mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten erkennt man direkt den einfachen Zusammenhang für den Ortsvektor in Kugelkoordinaten:

\begin{align} \vec{\textbf{r}} & = r(\vec{\textbf{e}}_\mathrm{x} \sin\vartheta \cos\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{y} \sin\vartheta \sin\varphi + \vec{\textbf{e}}_\mathrm{z} \cos\vartheta)\\ & =\vec{\textbf{e}}_r r \end{align}

Multimediale Lehrmaterialien

http://demonstrations.wolfram.com/ExploringSphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl./ free CDF-Player von Wolfram erforderlich)

http://www.pha.jhu.edu/~javalab/spherical/spherical.html Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl.)

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalCoordinates/ Applet: Punkt in Polarkoordinaten (engl. / free CDF-Player erforderlich)

Hilfreiche Links

http://de.academic.ru/pictures/dewiki/83/Sphere_3d.png dreidimensionales Bild zur Bestimmung eines Punktes in Kugelkoordinaten

http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Allgemeine Einführung in die Polarkoordinaten (engl.)

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 \mathrm{y} &= r \sin\vartheta \sin\varphi&
-&\text{mit}
+\text{mit}&
 &\leq \vartheta \leq \pi
 \end{align}